ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы СТОХАСТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ Стохастические краевые задачи из "Динамические системы при случайных воздействиях " Приводятся формулы дифференцирования кумулянтных средних и на их основе проводится усреднение динамических систем. Предварительно излагаются необходимые сведения о кумулянтах. [c.116] Задача усреднения, таким образом, сводится к вычислению среднего от экспоненты. [c.117] Вычисление средних от экспонент (8.2), (8.2а) в общем случае нетривиально. Прямой метод состоит в разложении экспоненты в ряд Тейлора по степеням моментов (2) , где Е — стоящий в экспоненте интеграл. Переписывая (Е) через многократные интегралы, получаем, например, в случае (8.2) при (o(i) = = —ua(t), где и — детерминированная функция i. [c.118] Свойства I и II справедливы и для моментных средних. [c.121] Разложения (8.13), (8.14), как и (8.7), показывают, что кумулянтные средние выражаются друг через друга и через момент-ные средние довольно сложным образом и оперировать с ними, вообще говоря, труднее. [c.121] Очевидно, что то же относится и к высшим кумулянтам гауссовского случайного процесса a t). Благодаря свойствам (8.18) усреднение динамических уравнений в терминах а1 1, х при гауссовских случайных воздействиях оказывается (см. далее) относительно простым. [c.122] Для всех других случайных процессов характерно наличие кумулянтов как угодно высокого порядка. [c.122] Приведем явный вид формул дифференцирования (8.23) для ряда употребительных моделей марковских процессов, определения которых даны в гл. 5. [c.123] Частный случай этой формулы, когда оператор М явно не зависит от I и процесс a(i) является гауссовским, был приведе исходя из других соображений в [53]. [c.124] Процессы с распределениями Пирс о-, н а. Рассмотрим два случая. [c.124] В случае марковских гауссовских (и пуассоновских) воздействий а( ) возникает еще одно удобство оперирования с кумулянтами х , а не с моментами которое обязано установленным для таких моделей a t) формулам (8.25). С их помощью можно проводить усреднение динамических систем, представляющих собой динамические уравнения высокого порядка, довольно компактным образом, без предварительного сведения их к системе вида (8.25). [c.127] Существенно, что цепочки уравнений (8.37) являются цепочками скалярных, а не векторных (как в (8.35)) уравнений. Особенно просто анализировать (8.37) в случае динамических систем (8.36) с постоянными (кроме a(i), f(t)) коэффициентами, т. е. когда все п ит в операторах N и М ие зависят от 1. При этом применяя к (8.37) преобразование Лапласа, переходим от цепочки дифференциальных уравнений к цепочке линейных алгебраических уравнений. Структура однородной части последних характерна для цепных дробей. [c.128] Похожие структуры цепочек уравнений для 2 получаются и для других приведенных в гл. 5 моделей случайных процессов. Для таких цепочек характерно присутствие наряду с членами 2 +1 и 2й совокупности ЧЛеНОВ 2 у, / = 1, 2,. . ., /с, подобно тому, как это имело место в случае пуассоновских воздействий при описании с помощью моментных средних. Понятно, что анализ уравнений типа (8.41), (8.42) сложен и не видно особых преимуществ по сравнению с описанием динамических систем языком моментных средних. [c.130] Обсуждается задача статистического описания динамических систем неэволюционного типа с двухточечными краевыми условиями. Приводятся универсальный, а также некоторые специальные приемы, сводящие краевые задачи к задачам эволюционным, к которым применимы развитые ранее методы статистического усреднения. [c.131] Рассмотренные в предыдущих главах динамические системы были эволюционного типа. Они характеризовались тем, что поведение решения х 1) в момент времени i зависело от поведения случайных воздействий а(т) на временах, предшествующих г, т. е. т I. При этом х 1) можно было рассматривать как запаздывающий функционал а и для получения вероятностных характеристик движений х 1) применять аппарат формул дифференцирования, т. е. использовать операторы Ь известных кинетических уравнений, через которые определяются случайные процессы. Существенно, что эти кинетические уравнения также являются эволюционными по параметру Ь. [c.131] Рассмотрение краевых задач для систем со случайными воздействиями важно для многих областей. Например, для физики это не только задачи распространения волн в случайно-не-однородных средах, но и задачи о распределении собственных значений (плотности состояний) и других параметров, определяющих структуру и свойства неупорядоченных систем — кристаллов с примесями, аморфных тел и т. п. Анализу подобных систем сейчас уделяется большое внимание (см., например, [55-60]). [c.132] Действенными методами определения вероятностных характеристик краевых задач, которые обходят процедуру нахождения решения для каждой реализации, являются приемы, сводящие краевую задачу к эволюционной, для которой уже имеются стандартные способы усреднения, в том числе с помощью формул дифференцирования. Здесь имеется ряд специальных приемов, пригодных лишь для ограниченного класса моделей и их характеристик, и более универсальный прием перевода краевых задач в эволюционные — метод инвариантного погружения. [c.133] 3 мы остановимся на специальных приемах, а в 4 изложим идею инвариантного погружения. При этом мы рассмотрим типичные физические задачи. [c.133] Вернуться к основной статье