ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамические системы при воздействях с конечными t и метод расширения пространства динамических переменных из "Динамические системы при случайных воздействиях " Собственно, это уже можно было увидеть из приближенных схем расцепления, обсуждавшихся в 3. Здесь мы специально остановимся на этом вопросе. [c.99] Вероятностное распределение P x, t . . . ) равно среднему по статистике а значению Р х, t . . . ), Р(х, ...) = Р(х, i .. . ) . [c.99] Переходу к пределу белого шума соответствует то, что в разложении по е справа в (6.26) член ае остается конечным, а все высшие, будучи пропорциональными aг , /с 3, обращаются в нуль. [c.100] Кроме условия v оо нужно еще потребовать, чтобы оставались конечными спектральные интенсивности воздействия (теперь существенны фурье-образы не только корреляционной функции, но и высших кумулянтов). Последнее требует конечности [i z и вообще (х 2 при целых w 0. [c.101] Таким образом, в рамках метода формул дифференцирования легко и естественно получаются диффузионные приближения. [c.102] В предыдущих главах, для описания вероятностных характеристик динамических систем, находящихся под действием случайных воздействий, с конечными временами 1с спада корреляций, мы пользовались аппаратом формул дифференцирования. Однако часто используется другой общий подход (о нем мы говорили в части I), основанный на рассмотрении расширенных динамических систем. Суть его заключается в том, что в число динамических переменных включается и само случайное воздействие, которое моделируется как отклик некоторой дополнительной динамической системы на белый шум той или иной статистики. Тем самым в рамках расширенной динамической системы мы уже имеем дело с задачей о воздействии белого шума, т. е. с задачей вероятностного описания расширенной системы в диффузионном приближении. Уравнения усредненной динамики в таком приближении получаются просто с помощью самых разнообразных методов, в том числе и методом формул дифференцирования, но анализ этих уравнений, конечно, не прост. [c.102] Заметим, что рассматривая в (6.45) в качестве a(i) марковской скачкообразный процесс с конечным i , представляющий отклик на пуассоновский белый шум, с помощью расширенной динамической системы (6.48) можно аналогичным путем вывести кинетическое уравнение для распределения Р х, а, t ...) типа Колмогорова — Феллера, а не Фоккера — Планка (6.50). [c.103] После чего получим, что динамика x(i) выражается чере динамику более высоких моментов х и а. Как мы уже знаем и предыдущего, когда применяли формулы дифференцировани для решения этой задачи, динамика x(i) выражается чере бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений для средни а х . А == 1, 2,. . . Такой же результат получается и при опр делении уравнений для моментов а х из уравнения (6.50). Ясно, что любые методы, если они правильны, должны при водить к одинаковым результатам. Но с помощью ФД цепочк уравнений для средних получаются практически мгновенно в то время как путь через расширенную динамическую значи тельно длиннее и включает большое число ненужных пром жуточных операций, которые могут вуалировать характер за-v цепления цепочек уравнений и возможности их свертки. [c.104] Еще одна важная особенность ФД заключается в том, чт из них стандартным образом можно получать полезные правила замыкания цепочек уравнений для средних, когда воздействий являются быстрофлуктуирующими. [c.104] Вернуться к основной статье