ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Динамические системы с воздействиями в виде суммы простейших телеграфных процессов из "Динамические системы при случайных воздействиях " Решаются задачи усреднения динамических систем при воздействиях, моделируемых телеграфными процессами более общего, чем в гл. 3, типа процессами кенгуру и суперпозицией простейших телеграфных процессов. Затрагиваются также вопросы аппроксимации гауссовских процессов телеграфными. [c.54] Процессы типа кенгуру обобщают класс телеграфных процессов Кубо — Андерсона в том смысле, что допускают за-висимость частоты перескоков от состояния, из которого про-исходит скачок, т. е. параметр V станобйТСЯ фуцкцийй а( 1 Т Т = д (а(г)77 Да ое обстоятельство делает этот тип моделей более адекватным физической реальности, например при описании явления штарковского уширения спектральных линий [13, 14]. [c.54] Величина Q a) = v(a)p(a)/ v есть плотность вероятности значения а при условии, что имел место хотя бы один скачок. Эта величина теперь не совпадает с одноточечным распределением р а), поскольку, когда частота перескоков из разных состояний разная, состояния с меньшими V живут дольше и будут встречаться более часто, чем дает распределение Q a) значений а при наличии скачка. [c.54] Напомним, что для процессов Кубо — Андерсона функция K t) имеет вид K t) — (а — а ехр I—vlij]. Из сравнения этих функций для обоих процессов видно, что (4.3) есть усредненная по состояниям а функция корреляции телеграфных процессов Кубо — Андерсона с различными значениями v. Это наводит на мысль, нельзя ли рассматривать процессы кенгуру как суперпозицию статистически независимых процессов Кубо — Андерсона с различными v. Однако не все вероятностные характеристики суперпозиции совпадают с таковыми для процессов кенгуру. Например, даже сумма двух статистически независимых процессов Кубо — Андерсона уже не принадлежит ни к классу процессов Кубо — Андерсона, ни к кенгуру (см. ниже). [c.55] 3) ясно, что K t) всегда монотонно спадает по t, но не только по экспоненциальному закону. Задавая разные законы р(а) и v(a), можно получать разные законы спада корреляций. Именно многообразие законов и математическая простота при оперировании обусловливают привлекательность процессов кенгуру для физических приложений. Некоторые законы Я(0 при четных р(а) приведены в табл. 1 (взятой из работы [6]). [c.55] В результате приходим к формуле дифференцирования (4.13). [c.58] Формула дифференцирования (4.13) совпадает, как увидим в гл. 5, с формулой дифференцирования статистических средних, зависящих от гауссовского марковского процесса с дисперсией о и временем спада корреляций Этот результат и следовало ожидать для предела суммы (4.7) в силу центральной предельной теоремы. Для рассматриваемого класса процессов здесь она легко доказана на языке формул дифференцирования. [c.58] Заметим, что описанным приемом можно получать ФД статистических средних для некоторых немарковских гауссовских- процессов. [c.58] Определим уравнение для ar(i) . Аналогичным образом можно получать уравнения для высших моментов и функции распределения. Ниже мы выведем кинетическое уравнение для функции распределения динамических систем более общего класса, чем (4.14). [c.59] Усреднение по статистике реализацией/(i) не меняет структу- ры системы (4.17), поскольку уравнения (4.17) линейны и /(i) входит аддитивно. Соответствующий знак усреднения по /(i) можно включить в ... и ... с, что и будем считать, не указывая его явно. [c.60] Теи самым полностью найден алгоритм поставленной задачи. [c.61] Полученные уравнения являются точными и решают задачу вычисления вероятностных характеристик системы (4.19). [c.62] Все процессы a it) — идентичные статистически независимые дихотомические процессы с одинаковыми дисперсией = = o /N и временем спада корреляций = v . Ограничимся выводом уравнения для x(f) . Такая задача для частного класса систем (4.29) с не зависящими от t матрицами А и В ш f = О была решена на основе формул дифференцирования в [31, 32]. [c.65] Усреднение этой системы по / добавляет просто значок ... / и не меняет ее структуры. Как и ранее, индекс ... / не выписываем. Средние — известные функции и соответственно система (4.31) является замкнутой и содержит конечное число уравнений. В случае постоянных матриц А ш В она решается с помощью преобразования Лапласа. [c.65] Соответственно система зацепляющихся уравнений (4.31) становится бесконечной. Поэтому, отправляясь от задачи с воздействиями в виде суммы конечного числа независимых дихотомических процессов, можно, например, строить (как ранее отмечалось в [31]) приближенный анализ динамических систем, возмущаемых непрерывными гауссовскими процессами марковского типа. [c.66] Таким образом, поскольку, как мы видели в гл. 3, для процессов Кубо — Андерсона процедура усреднения динамических систем проводится точно и дает компактные результаты, аппроксимация гауссовских марковских воздействий телеграфными процессами Кубо —. Андерсона представляется удобной.-В зтом смысле аппроксимация марковского гауссовского процесса конечной суммой идентичных независимых дихотомических процессов в вычислительном плане значительно сложнее. [c.67] В настоящей главе рассматриваются динамические системы при случайных воздействиях, представляющих марковские процессы — гауссовские, пуассоновские, процессы с распределениями Рэлея и Пирсона. Излагаются кратко сведения об этих процессах, приводятся формулы дифференцирования статистических средних и на их основе проводится статистическое усреднение динамических систем. [c.68] Во многих физических задачах характер случайных воздействий существенно отличается от телеграфных марковских (см. часть II). Здесь рассмотрен ряд других часто встречающихся в физических задачах моделей случайных воздействий. Это марковские процессы непрерывного типа — гауссовские, рэлеевские, пирсоновские — и скачкообразного типа — пуассоновские процессы. Многие полезные сведения и свойства, касающиеся указанных процессов, можно найти в книге [42]. [c.68] Рассмотрим ряд употребительных моделей. [c.71] Результат (5.6) мы уже получали ранее, рассматривая предел суммы, состоящей из бесконечного числа идентичных статистически независимых телеграфных процессов Кубо — Андерсона с исчезающе малыми амплитудами. В более общем случае, для суммы большого числа статистически независимых процессов малой амплитуды, мы будем в пределе получать гауссовский марковский процесс, если характер спада корреляций для членов суммы является экспоненциальным с одинаковыми V. Часто окружение динамических систем может быть смоделировано именно таким образом, что обусловливает физическую распространенность модели марковских гауссовских процессов. [c.71] Вернуться к основной статье