ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВОЗМУЩАЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ТЕЛЕГРАФНОГО ТИПА Воздействия, моделируемые процессами Кубо — Андерсона из "Динамические системы при случайных воздействиях " Во многих случаях проблема расцепления корреляций в стохастических уравнениях может быть успешно решена на основе формул дифференцирования статистических средних, которые мы рассмотрим в следующем параграфе. [c.26] В заключение отметим, что хотя мы говорили о способах вероятностного описания случайных воздействий о. 1), но совершенно очевидно, что сказанное относится и к вероятностному описанию динамических систем при случайных воздействиях (речь идет лишь о переобозначении а на х, а Й на а). [c.26] Средние типа (2.22) возникают при анализе осредненной эволюции динамических систем, подверженных случайным воздействиям с заданной статистикой. Например, в уравнении (1.3) для осредненной траектории x(i) осциллятора с флуктуирующей частотой возникает задача вычисления среднего a(i)x . В общем случае при определении кинетических уравнений для вероятностных распределений из динамических уравнений возникает (см. (2.12)) задача вычисления средних 4Р , 4 , где Р, являются решениями уравнений (2.10) и, следовательно, представляют собой запаздывающие функционалы от а. Аналогичная задача возникает при вычислении характеристического функционала из соответствующего ему стохастического уравнения (2.21). [c.26] Эффективным приемом, как убедимся далее, являются формулы дифференцирования статистических средних. Определим нх общую структуру. [c.27] Рассмотрим функцию Ф( а( 1). a tn)), зависящую от времени t и множества 2 = (а , а ,. а ) значений случайной переменной а, которые она принимает в соответствующие моменты Т = ( 1, 21 п) причем считается, что все ti из Т меньше t. Для краткости будем обозначать ее как Ф1(2, Т). При п оо, когда ti пробегают непрерывный ряд значений, функция Ф1(2, Т) редуцируется в запаздывающий функционал Ф1[а(т)] непрерывного по т типа. [c.27] В случае векторного процесса a t) = .. . [c.28] Для вывода (2.26) в [31] (и в [32]) использовались более сложные, Чем приведенные, рассуждения с привлечением функционального аппарата. Отметим также, что функционал Ф [а] считался незапаздывающим, как это полагали мы в тексте, а лишь неупреждающим, т. е. допускалась висимость от а не только в моменты т , но и в момент t. Нетрудно, однако, проверить, что формула (2.26) при этом, вообще говоря, перестает быть верной член [/,+ Р] Ф в правой части должен быть заменен на 2+ / Ф ). [c.29] Важной чертой формул дифференцирования статистических средних (далее иногда для краткости просто ФД) является то, что они выражают средние (i, a(i))Фt[a] через другие средние, явно содержащие параметры производящего оператора. Данное обстоятельство, как увидим, дает возможность для большого числа употребительных моделей случайных воздействий а( ) легко получать замкнутые уравнения для средних. [c.30] Существует общий подход к вычислению средних типа (2.22) (пригодный для класса марковских процессов а( ), основанный па специально разработанном в математике аппарате сгохасти-ческого исчисления Ито [20]). Основную роль здесь играют формулы Ито дифференцирования неявных функций. Связь этого аппарата с ФД мы обсудим отдельно в гл. 7, где также будет кратко (на физическом уровне строгости) изложен сам подход Ито. [c.30] Анализируется осредненная динамика систем, возмущаемых простейшими телеграфными процессами с двумя и более состояниями. В 1 содержатся необходимые сведения о телеграфных процессах и приводится для них явный вид формул дифференцирования. В последующих параграфах даются применения формул к различным типам динамических систем. [c.32] Самым простейшим представителем случайных телеграфных процессов является марковский дихотомический процесс. Он представляет собой случайную функцию времени а 1), которая принимает попеременно постоянные значения +о и —а скачки от одного значения к другому происходят случайно и независимо со средней частотой V. Состояния а равновероятны. Множество различных значений амплитуд о и частот V задает этот класс процессов. Реализация дихотомического процесса показана на рис. 3, а. [c.32] Физический смысл выражения (3.2) становится очевидным, если учесть 1) (1 — dt) есть вероятность того, что на интервале (О, dt) скачка не происходит и система остается в состоянии а 2) dt есть вероятность того, что скачок за время dt имел место и соответственно dtp a) — вероятность, что произошел скачок в состояние а. [c.33] Как и ранее, интегралы без пределов — по всей области значений а. Из (3.4) видно, что время спада корреляции процесса a(f) совпадает с периодом флуктуаций v , т. е. память о предыдущем для процесса a(f) практически забывается на одном периоде. [c.34] Формулы вида (3.8), (3.9) впервые были приведены в [15— М], а в виде (3.7) — в [31]. Заметим, однако, что в [31 ] (а так-же в 1 6 21) формула считалась верной и когда ФДа] — не- преждающий функционал, т. е. в Ф1[а] допускалась зависи-iHO Tb от а(т) ие только при значениях т i, но и при т = f. Приведем пример, показывающий, что включение в Ф([а] значений а(т) при т = i может приводить к дефектам. [c.35] Поскольку по [32] эти формулы должны совпадать, значит, должно выполняться тождественно а а ( )а (т) = а + х Х а , но при произвольных п, к и t — т равенство, очевидно, не имеет места. [c.35] Вернуться к основной статье