ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Вводные замечания из "Динамические системы при случайных воздействиях " Шапиро В. Е., Логинов В. М. Динамические системы при случайных воздействиях. Простые средства анализа.— Новосибирск Наука, 1983. [c.2] В монографии развивается новый методически простой и удобный вариант статистического подхода к анализу динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с флуктуирующими параметрами. Подход основан на правилах дифференцирования статистических средних от величин, зависящих от случайного процесса и его предыстории. Находятся точные замкнутые уравнения для вероятностных характеристик широкого класса динамических систем с флуктуирующими параметрами, представляющими собой распространенные в физике модели случайных процессов с нулевым и конечным временем корреляций. Рассмотрение ведется в рамках обычного дифференциального исчисления и не требует от читателя каких-либо специальных знаний. [c.2] Книга предназначена научным работникам и инженерам, а также преподавателям и студентам, интересующимся вероятностными методами математической физики. [c.2] Глава 3. Воздействия, моделируемые процессами Кубо — Андерсона. . [c.3] Глава 4. Процессы типа кенгуру и другие. [c.3] С развитием естествознания и техники все шире исследуются динамические системы, в которых фигурируют случайно изменяющиеся факторы. В основе изучения таких систем лежит статистический подход. Он заключается в рассмотрении некоторой выделенной подсистемы, вероятностными свойствами которой мы интересуемся, и всего остального мира , моделируемого в общем случае случайными процессами или полями с известными вероятностными характеристиками. Эти вероятностные характеристики могут задаваться как непосредственно, так и с помощью кинетических или динамических уравнений, моделирующих динамику флуктуаций окружающего мира. [c.5] Одной из первых изучавшихся в физике систем такого типа явилось линейное ланжевеновское уравнение с правой частью в виде дельта-коррелированной во времени силы, описывающее броуновское движение частиц в газе или жидкости. Для современного этапа изучения статистических задач в физике и других областях характерен переход к более адекватным реальному миру и поэтому более сложным моделям, когда флуктуируют не только правая часть уравнений, но и параметры, а время спада корреляций случайных воздействий конечно. Большой интерес вызывают нелинейные, многомерные (и распределенные) динамические системы при случайных не дельта-коррелированных воздействиях. [c.5] Наиболее рабочими моделями случайных воздействий являются белые шумы с гауссовской и пуассоновской статистикой, поскольку для них наиболее полно разработан математический аппарат (см., например, [1—4]). В рамках таких моделей воздействий получаются точные замкнутые кинетические уравнения для вероятностных распределений динамических переменных. [c.6] Другой путь — рассмотрение непосредственно решений динамических систем при произвольных реализациях воздействий с последующим усреднением по статистике реализаций. Искомое решение представляют в виде того или иного разложения по степеням параметра, характеризующего влияние случайных воздействий на систему. Осуществить такую программу в полном объеме, за исключением линейных уравнений с постоянными коэффициентами и случайной правой частью, конечно, невозможно, и к соответствующим разложениям после усреднения применяют приближенные способы обрыва разложений или их частичного подсуммирования. По существу, это теория возмущений обычно по малости — масштаба времени спада корреляций случайных воздействий. Средние борновские приближения, различные модификации метода последовательных приближений, кумулянтные (или кластерные) разложения (см. [5—111 и цитированную там литературу) относятся к этой категории. [c.6] Важным и перспективным нам представляется путь, получивший интенсивное распространение с начала 70-х годов [6, 12—44] и основанный на использовании моделей случайных воздействий с конечными с которыми возможно проводить точное усреднение, т. е. получать точные замкнутые уравнения для статистических характеристик динамической системы при любых интенсивностях воздействий и масштабах Простейшей из таких моделей является марковский дихотомический процесс — случайная телеграфная функция, принимающая только два значения перескоки от одного значения к другому статистически независимы и происходят с некоторой средней частотой. Удобных для анализа моделей с конечными (ейчас довольно много, и к ним относятся как скачкообразные,, так и непрерывные процессы с различной статистикой. [c.6] Для того чтобы читателю было легче ориентироваться в материале последующих глав, сделаем ряд замечаний общего характера, касающихся анализа динамических систем при случайных воздействиях. Более развернутое освещение затрагиваемых вопросов будет дано далее. [c.8] Реализации случайных воз-л действий a(t) (а) и соответствующие ИИ реализации динамической пере-л менной x(t)(6). [c.9] При произвольных a t) вычисление средних и суммирование соответствующих рядов является трудной задачей, и только при наличии малого параметра и удачного выбора представления решения x t) можно провести эффективно приближенный анализ. При этом широко используются методы, заимствованные из квантовой теории поля, различные кумулянтные разложения, борновские приближения и т. д. (см., например, I5-11, 191)3). [c.10] Интегрирование в (1.4) (или суммирование, если а( ) принимает дискретные значения) производится по всей области определения процесса а( ). [c.10] Хотя задача расцепления корреляций между случайными аоздействиями и динамическими переменными в общем случае сложна, она эффективно решается для многих моделей случайных воздействий. К их числу относятся модель гауссовского белого шума и ряд других моделей, о которых далее будем говорить. Анализу стохастических уравнений с такими моделями и посвящена книга. [c.11] Здесь и далее по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. В этом уравнении наряду с начальными и граничными условиями фигурируют коэффициенты а и Ь, ко-1 торые надо определять из решения исходной динамической сис- темы (1.2). Традиционный подход к вычислению этих коэффи- циентов состоит в определении непосредственно из решения системы (1.2) средних и среднеквадратичных приращений Ах на предельно малых временах А - 0. [c.11] Поскольку различными системами фильтрации перебирается огромное (достаточное для физических приложений) множество моделей, тем самым в принципе решается вопрос о нахождении вероятностных характеристик динамических систем при сл5гчайных воздействиях, в том числе и не дельта-коррелированных. Однако анализ расширенных динамических систем, конечно, более сложен, так как связан с решением уравнений в частных производных по большому числу переменных и, как правило, с переменными коэффициентами. [c.12] Вернуться к основной статье