ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Утверждения для L 2 -норМодификация алгоритма для областей с криволинейной границей из "Многосеточные методы конечных элементов " Отметим, что от (к) в условии этой теоремы практически зависит от к как 0(1/ ). [c.210] При решении практических задач обычна тенденция перестраховываться и брать т заведомо Оольше, что влечет избыточное число арифметических операций. Частично это положение можно исправить проведением контроля за величиной невязки. Для этого на этапе Ai после вычисления невязки 0 4 необходимо подсчитать ее евклидову норму. Зная хотя бы приблизительную оценку минимального собственного числа дифференциальной или сеточной задачи, по этой величине нормы можно сделать вывод о достигнутой точности и ненужности проведения дальнейших уточнений на других слоях. Таким образом, некоторая часть лишних вычислений будет отсечена. В работах [116], [115] этот прием является одним из основных для автоматического формирования стратегии вычислений. [c.211] Тем не менее, не исключены некоторые специальные случаи, где использование других итерационных процедур может дать улучшение сходимости. Например, для уравнения с малым параметром при одной иэ старших производных в качестве сглаживающей процедуры лучше работает метод Гаусса — Зейделя с специальным упорядочением [134]. [c.212] Продолжая рассмотрение двумерной задачи Дирихле (дм. 5.1), на этот раз мы остановимся на изучении области с криволинейной границей. Предположим, что ша состоит из нескольких кусков кривых класса. [c.212] Это дает некоторые удобства при реализации метода на ЭВМ. [c.212] При дальнейшем изучении метода для определенности предположим, что область О, вьшукла. [c.213] В конечном итоге нас будет интересовать и на самой мелкой сетке. На ней базисные функции имеют стандартный вид и сходимость к точному решению вьпекает из результатов многих работ. Но дпя обоснования многосеточных алгоритмов требуется оценка точности (условие Н 4.2) на всех промежуточных сетках. [c.214] Доказательство. При описанном вьпие разбиении прямостороннего треугольника получаются 4 треугольника, подобные исходному, т.е. с тем же набором углов и отношениями длин сторон. В треугольниках с криволинейными сторонами зти величины не сохраняются. Покажем, что они несущественно отличаются от исходных, сколько бы раз не применялась процедура разбиения. [c.214] Тогда из неравенства (3.6) вытекает, что максимальное расстояние между вершинами одного треугольника i-то разбиения не превышает величины 2 А . [c.215] Отметим, что отношение максимального к минимальному расстояний между вершинами каждого исходного треугольника ограничено константой 1/sin 00 на основании теоремы синусов. Тогда при последующих разбиениях оно может стать не больше 2/sin во. [c.215] На основании выкладок, проведенных в начале доказательства. [c.216] Поскольку матрица I симметрична, то на основании отношения Релея отсюда вытекает оценка Х с,5 =сц(сп +с,9). Оценка снизу вытекает непосредственно из свойств билинейной формы . Теорема доказана. [c.218] Напомним, что матрица I строится стандартным образом, посколысу р-му разбиению соответствуют обычно кусочно-линейные базисные функции. Все другие матрицы получаются рекуррентно одна из другой путем суммирования строк и столбцов, как это указано в начале раздела. Таким образом, конструктивная сложность базисных функций на более редких разбиениях не влияет на сложность программной реализации и тасло арифметических операций. [c.218] Доказательство этого результата идентично обоснованию теоремы 1.4. Отметим, кроме того, что рассуждения в 5.1 здесь тоже применимы и дают основания предпочесть двукратную стратегию. [c.219] Вернуться к основной статье