ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Графическое изображение процедур из "Многосеточные методы конечных элементов " В графе 6 содержится время (а) вычисления решения в секундах. В графе 7 содержится время (в) расчетов в миллисекундах, отнесенное к одному неизвестному. Время фиксировалось с точностью 0,02 секунды, а вычисления велись с двойной мантиссой. [c.205] Выводы, Полученные ранее на основе анализа главных членов, согласуются с численными экспериментами. [c.205] После этого расчеты проводились с помощью алгоритмов В из 4.3. [c.205] В случае использования других лагранжевых элементов (степени 2,3 на треугольниках и сирендиповых степени 1,2,3 иа четырехугольниках) утверждения этого параграфа остаются в силе, в том числе теоремд 1.4 и заключение 1.5. Более того, если гладкость решения и гарантирует больший порядок сходимости, чем линейные элементы, то соответствующие показатели у hp ъ (1.34) и в теореме 1.4 соответственно увеличиваются. Правда, рассчитывать на существенное увеличение показателя не приходится, если не принять специальных мер, даже при очень гладких коэффициентах и правой части, поскольку углы области дают точечные особенности в производных. Речь об этом пойдет в 5.4. [c.206] Замечание 1.1. Отметим одну важную особенность использования элементов высоких степеней. Из обоснования алгоритмов в гл. 4 (см. замечание 2.1) видно, что на нижних слоях алгоритмов А, . .. достаточно использовать на треугольниках - кусочно-линейные элементы, а на четьфехугольниках — билинейные. Их точности вполне достаточно для вьшолнения условий Н, I. Число ненулевых элементов получающихся матриц будет существенно меньше, а процедуры интерполяции и щ)оекти-рования — проще, что способствует значительному повышению экономичности алгоритма. [c.206] Более того, это открывает возможность использования алгоритмов А,А . .. для других конечных элементов на разных сетках, как это отмечено, например, для элементов Клафа—Точера в разделе 3.I.3. Вложенность же пространства линейных элементов с более редкой сетки всегда имеется. [c.206] Еще одно предупреждение касается эрмитовых элементов. Без применения соответствующей нормализации матрицы сходимость алгоритмов А, А весьма слабая. Поэтому необходимо использовать алгоритмы с диагональной нормализацией, описанные в 4.8. [c.206] Для того чтобы разобраться в существующей классификации много-сеточньк итерационных методов, рассмотрим схематические обозначения на рис. 5.3 и с их помощью введем рекуррентное графическое описание различных реализаций итерационной процедуры А. [c.207] Когда при решении некоторых практических задач выяснилось, что один переход на более низкий слой может потребовать значительного числа итераций т (оно бралось одинаковым по всем слоям), то появилась версия И -цикла [157] (см. рис. 5.3, б). Точнее, сначала появилась потребность в многократном (2, 3,. . . ) использовании Г-цикла. А затем уже в практических расчетах проявилась оптимальность именно двукратного использования, т.е. И цикла. [c.207] Легко заметить, что в F-цикле возникает альтернатива проведения разного числа начальных и заключительных итераций. Например, можно сделать все итерации в начале, реализуя ситуацию на рис. 5.3, г, которую мы будем называть V -циклом. С одной стороны, мы лишились процедуры сглаживания ошибки интерполяции, а с другой стороны — усилили подавление ошибки на первом этапе так, что ошибка интерполяции сама по себе будет мала. [c.208] Мы привели полные доказательства сходимости алгоритмов только в двух случаях, когда все итерации выполняются в начале (F -цикл, теорема 4.3.1) и когда итерационные процессы в начале и в конце идентичны, т.е. совпадает не только число итераций, но и итерационные параметры (теорема 4.3.5). Последний вариант мы будем называть симметричным V-циклом. Интересно, что в практических расчетах именно эти две модификации среди Р иклов с параметрами (4.3.38) выявлены как наиболее оптимальные. Причем Г ч1иклы оказываются лучше, когда распределение ошибки начального приближения носит случайный характер (обычно на грубых сетках), а симметричные циклы оказываются наилучшими, когда эта ошибка имеет гладкий характер, на более мелких сетках [ 158 . [c.208] Следует отметить, что численные расчеты, как и в п. 5.1.4, обычно показывают более высокую эффективность F-циклов в сравнении с И циклами. Кроме того, V-циклы легче распараллеливаются. Но W-циклы имеют более широкую область применения для несамосопряженных задач, при достаточной гладкости данных, для более слабых норм [100]. Например, они показали достаточную эффективность для уравнения Гельмгольца (1.1) с комплексным коэффициентом а. [c.208] Поэтому в тех случаях, когда обосновано применение обоих видов циклов, Угциклы работают экономичнее. [c.208] Вернуться к основной статье