ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Совместное использование алгоритма с экстраполяцией Ричардсона из "Многосеточные методы конечных элементов " В конце параграфа мы рассмотрим алгоритм с заключительным сглаживанием из статьи [114] и вопросы оптимизации итерационных параметров. [c.146] Далее будем использовать следующее предположение. [c.146] Итерационный алгоритм снова сформулируем рекуррентным образом. На самой редкой сетке система (2.9) п ж любой правой части будет решаться прямым методом. [c.146] Сформулируем условия, при которых описанный щаг алгоритма А будет давать уменьщение ошибки приближенного решения. [c.147] Так что (3.26) действительно вьшолняется. [c.150] Тогда на основании (3.27) -(3.28) вытекает утверждение теоремы. [c.150] Наряду с алгоритмом А рассмотрим симметричный вариант А появившийся первым из многосеточных методов в статье Р.П. Федоренко [82]. Он отличается от А дополнительной сглаживающей процедурой после определения Ур. Она предназначена для подавления ошибки, появляющейся при интерполяции с грубой сетки на мелкую и состоящей в основном из высокочастотных гармоник. [c.150] Проводим т итераций по формуле (2.12) с начальным приближением С/о = Уу. Результатом алгоритма А полагаем вектор Ур = 1/ , являющийся новым приближением к решению системы (2.9). [c.150] По-прежнему рассматривается упрощенный выбор итерационных параметров (3.7). [c.150] Поскольку Со ei, теорема доказана. [c.152] Для восполнений /о, соответствие (3.35) определяет оператор / /о т - По аналогии с/ доказывается его самосопряженность в скалярном произведении ( , ). [c.153] Покажем, что такой выбор т, существенно улучшает множитель сходимости в оценке (3.29) алгоритма А . [c.153] Сопоставим полученный множитель сходимости с (3.33). При малых А,-из спектрального разложения видно, что с с] за счет смещения к нулю наиболее информативной части спектра относительно отрезка [О, й]. Поэтому оценка (3.40) с множителем (3.39) становится лучше. Например, при т= 2 она обеспечивает такую же сходимость, как (3.33) при т = 4. При увеличении пг эта разница становится еще ощутимее. При умеренных А,- специальный выбор также дает численные результаты лучше. На этот раз ошибка Ео рассеяна практически по всему отрезку спектра [О, ], а множитель подавления ошибки для каждой гармоники у алгоритма с параметрами (3.38) равномерно меньше, чем в случае параметров г, = т=1/й, за исключением небольшой части спектра вблизи точки (1. [c.155] Таким образом, выбор параметров (3.38) регулярно дает более сильную сходимость, чем (3.7). [c.155] Замечание 3.1. Несмотря на условие I, вещественное х может быть как больше, так и меньше 1 по аналогии с замечанием 2.1. Например, повьпиенная гладкость решения (и е ( 2), т 2) и конечные элементы степени 2 и выше приводят к 5 1. А в условии и Wl (П), и следовательно, увеличение степени элементов не приводит к повышению показателя у А в (3.4). [c.155] Таким образом, построенные алгоритмы В А дают приближеннее решение метода Бубнова-Галёркина с тем же порядком точности в энергетической норме. [c.156] Полагая , приходим к утверждению теоремы. [c.156] Теперь рассмотрим случай, когда билинейная форма в задаче/ (2.1) не симметрична и необязательно положительно определена. Тогда для матрицы системы (2.9) эти свойства также не выполняются. При зтих условиях построим алгоритм, сходящийся в .2 норме. [c.157] Для его формулировки вновь будем считать выполненными предположения о прямом методе решения системы (2.9) на самой редкой сетке и о возможности уменьшения в о раз нормы II 11 ошибки приближенного решения системы (2.10) (см. (2.11)). [c.157] Вернуться к основной статье