ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая формулировка алгоритма для лагранжевых элементов из "Многосеточные методы конечных элементов " В зтом параграфе дается общее описание алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений метода Бубнова - Галёркина, полученных с помощью лагранжевых конечных злементов для эллиптических уравнений второго порядка. Алгоритм основан на рекуррентном использовании приближенных решений систем, построенных на последовательности вложенных сеток. [c.137] Пусть для параметров Л,- и базисных функций 1рр выполняются следующие свойства. [c.138] Поскольку в зтой главе основной целью является построение метода решения систем вида (2.6), а не анализ сходимости приближенного решения, то все вопросы, обеспечивающие сходимость, сведем к одному требованию. [c.138] Рассмотрим сетку. Для нее система (2.9) имеет не более неизвестных и может быть решена, например, с использованием треугольного разложения с числом арифметических действий не более г2с . [c.139] Пусть теперь для решения системы (2.9) с индексом г 1 имеется некоторое приближение Fq. Тогда один шаг алгоритма А, позволяющий уменьшить норму ошибки приближенного решения в раз, осуществим в пять этапов. [c.139] Отсюда следует неравенство (2.31). Для однородной системы вида (2.32) из этого неравенства вытекает отсутствие других решений, кроме тривиального. Поэтому неоднородная система (2.32) имеет единственное решение, с помощью которого определяется функция (2.34), удовлетворяющая оценке (2.31). [c.142] Объединяя ее с (2.37), получаем неравенство (2.36). [c.142] При Со 0 и ш он стремится к нулю, поэтому V i S (0,1) всегда можно подобрать достаточно малое Со S (О, 1) и достаточно большое т независимо от/. А,- такие, что вьшолняется неравенство (2.20) в условии теоремы. Теорема 2,1 доказана. [c.143] построен итерационный процесс (2.12) —(2.16), который позволяет уменьшить норму II Ий ошибки любого начального приближения в 6i раз для любой правой частив системы (2.9). [c.143] Замечание 2.1. Вещественное х может быть как больше, так и меньше 2. В первом случае, х 2, — за счет новьшхенной гладкости решения (и Н (Л), т 2) и выбора конечных злементов степени 2 и вьшхе. Отметим, что такой выбор злементов не увеличивает показатель 2 в условии Н, поскольку из принадлежности g ( 2) вытекает лишь и W и позтому увеличение степени злементов не приводит к повышению точности. Во втором случае х может быть меньше 2 за счет недостаточной гладкости решения(и е IV, О т 2). [c.144] Отсюда видно, что величину к следует выбирать примерно равной 1. Дальнейшее уменьшение к приведет к росту количества арифметических операций без существенного увеличения точности. [c.144] Таким образом, построено приближенное решение задачи (2.1) такой же структуры и такого же порядка точности, какие имеет решение метода Бубнова - Галёркина. [c.144] Отметим, что в определение параметров г входит величина (1 - верхняя граница спектра матрицы I, Ее можно оценить достаточно просто, применяя оценки радиусов кругов Гершгорина. Обычно она лишь на несколько процентов превьшиет истинную границу. Это влечет увеличение величины с1 также на несколько процентов, что является незначительной потерей. Нижняя граница спектра матриц в данном случае не требуется. [c.145] Утверждение теоремы 2.1 и вытекающая из него оценка (2.50) все равно будут вьшолняться при достаточно малом шаге А . Дело в том, что необходимые оценки (2.27), (2.43), зависящие от спектра матриц Ь будут обеспечены не только для [О, ], но и для отрезка, захватьшающего отрицательную полуось [— 1 а/2, й] в соответствии с замечанием 1.1. При достаточно малых А, величина С12А становится меньше 1 а/2 и все предшествующие результаты остаются справедливыми. [c.145] Рт+1 на Рт + 1 для достижения одной и той же точности увеличивается в 2Л — 1 раз. Поэтому число к следует выбирать наименьшим для достижения (2.53). [c.145] Вернуться к основной статье