ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обусловленность систем линейных уравнений и диагональная нормировка из "Многосеточные методы конечных элементов " Приведем без доказательства следующий результат из [74]. [c.125] Здесь Хх ( ) — наименьшее собственное значение исходной непрерывной задачи, а С1 увеличивается, если геометрия элементов становится вырожденной. [c.125] Из зтой оценки сразу же сделаем два вьшода. [c.125] Во-первых, число обусловленности существенно больше в случае уравнений четвертого порядка, когда 2т = 4, нежели для уравнений второго порядка, когда 2т = 2. Поэтому там, где это возможно, вместо уравнений четвертого порядка следует решать системы уравнений второго порядка. Одну из таких возможностей предоставляет смешанный метод. [c.125] Во-вторых, оценка (6.3) становится неудовлетворительной в случае какого-либо вырождения треугольников. Например, треугольники, удовлетворяющие ослабленному критерию (2.5.5), могут давать неравенство min VI, вследствие этого, плохую обусловленность. Аналогичная ситуация происходит в случае применения любого из алгоритмов сгущения сетки. [c.126] Покажем, что в этом случае для исправления ситуации достаточно провести диагональную нормировку матрицы Для этого отметим, что круги Гершгорина дают неплохое представление о максимальном собственном числе матрицы L [74]. [c.126] Укажем также, что этот прием нормировки диагональной матрицей позволяет улучшить число обусловленности для уравнений второго порядка с сильно меняющимися коэффициентами для смешанного метода и уравнений четвертого порядка при выравнивании порядка элементов матрицы , соответствующих значениям функции и ее производных, что и будет продемонстрировано в дальнейшем. [c.126] В заключение главы приведем два результата, часто используемые в дальнейшем. [c.126] Оказьшается, что они эквивалентны с точностью до множителя й / . [c.127] Теперь установим оценку для максимального собственного числа матрицы/,. [c.128] Сопоставляя эти неравенства, получаем (6.14). [c.128] Вернуться к основной статье