ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Другие алгоритмы и сгущение триангуляции из "Многосеточные методы конечных элементов " Пусть разбиение Вороного уже создано, тогда построим дуальную к нему триангуляцию Делоне. Для зтого соединим кажд)ао точку р,- прямым отрезком со своими невырожденньп ш соседями. В результате мы получим новое разбиение. Если в него помимо треугольников входят многоугольники с числом вершин больше трех, то проведем дополнительно такое количество отрезков между вырожденными соседями, чтобы не произошло пересечения (рис. 2.28). [c.81] Самостоятельное и плодотворное направление образуют работы, посвященные использованию отображения исходных областей или их частей в такие канонические области, как прямоугольник, треугольник, круг, сектор и т.д. [21,19]. Напртмер, имея отображение области на прямоугольник, можно построить триангуляцию, обеспечивающую сходимость зффек-тивных двуступенчатых итерационных процессов с прямым решением на каждой итерации вспомогательных задач в прямоугольнике [57, 21]. [c.82] Часто преобразование координат используется для построения триангуляций, сгущающихся в окрестности особых точек или линий. Речь об зтом пойдет дальше. [c.82] Краткое обсуждение зтих подходов и их комбинаций имеется в обзоре [175], монографии [85], а также в цитируемых в них публикациях. [c.82] Ряд специфических вопросов, возникающих в трехмерном случае, решается в [34, 37, 121, 135, 177, 163]. Отметим, что весьма перспективным становится использование для автоматизации неполных элементов на многогранниках с числом вершин меньше восьми (по аналогии с сирендипо-выми элементами). В этом случае отпадает необходимость обязательной триангуляции области на топологически равные фигуры тетраздры, кубоиды, призмы и т.п. Между тем, например, после применения трехмерного алгоритма граничной коррекции однородность работы с элементами на последующих этапах практически не нарушается. [c.82] Несколько подробнее остановимся на сгущении триангуляции. В ряде случаев решение дифференциальной задачи имеет особенности, выражающиеся в неограниченном росте производных. Такие случаи уже обсуждались в п. 1.1.3 в связи с угловыми точками и линиями границы. Другой класс особенностей возникает в зоне погранспоя для уравнений с малым параметром при старших производных. При решении таких задач на равномерной триангуляции порядок сходимости существенно понижается [74]. Вместе с тем, можно задать подходящее сгущение триангуляции так, что порядок сходимости будет восстановлен без существенного увеличения числа узлов триангуляции (в пределах нескольких процентов) [92]. [c.82] Мы ограничимся обсуждением в двумерном случае и сначала рассмотрим сгущение триангуляции вблизи особой точки. Для определенности поместим ее в начало координат. [c.82] Реализуя любой из алгоритмов 2.5 с этим расстоянием, мы получим при а 1 триангуляцию, сгущающуюся к началу координат. Чем больше а, тем сильнее сгущается сетка к точке особенности. [c.83] Тогда расстояние Р х,у) = f x)-f (у) будет обычным евклидовым вне шара радиуса 2 5 и обладает необходимыми свойствами растяжения внутри шара радиуса 5. [c.83] Отметим, что такие построения с расстоянием (7.3) равносильны другому приему. С помощью преобразования координат у = f (рс) переведем область П с границей Г в другую область П с границей Г. В новой области Й построим обычную квадратную сетку, которую затем согласуем с границей Г одним из двух приведенных алгоритмов, или проведем дробление уже имеющейся триангуляции. А затем с помощью обратного к / преобразования f осуществляем перевод построенных узлов и топологии триангуляции в исходные переменные, в которых и проводим соединение в треугольники. [c.83] Поступим так для сгущения сетки вблизи участка кривой. Пусть, например, гладкий незамкнутый участок кривой задается параметрически двумя функциями х,(г), е[0, 1] / = 1, 2. Предположим также, что имеется вектор а = (а1, йг), образующий острый угол с внутренней нормалью в любой точке этого участка. [c.83] Второй прием легко обобщается на случай трехмерных областей, когда требуется сгущение триангуляции при подходе к криволинейному участку поверхности. [c.84] Иногда для подобластей сложной конфигурации с несоразмерными элементами используется локальное дробление, дающее составную триангуляцию, несогласованную в нашем смысле вдоль некоторых линий. Это особенно важно в задачах гомогенизации. Использование процессов Шварца альтернирования по подобластям (без налегания) делает зтот прием весьма привлекательным [45]. Для пояснения снова вернемся к задаче с особой точкой. Пусть сначала построена квадратная сетка с крупным шагом, а затем несколько ячеек вблизи особой точки раздроблены на более мелкие квадратные ячейки. Тогда условие согласования можно считать вьшолнен-ным для элементов более сложной формы (составленной из нескольких квадратов или треугольников) [43]. [c.84] Вернуться к основной статье