ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы с ячейкой прямоугольной формы из "Многосеточные методы конечных элементов " Поскольку линейный многочлен р Р полностью определяется тремя значениямиp a ), то набор Ф1 Р -разрешим. [c.51] Таким образом, - базисные функции злемента Куранта, т.е. [c.51] Поскольку построение многочлена р по его значениям в вершинах д, есть не что иное, как лагранжева интерполяция, естественно назвать этот элемент лагранжевым элементом степени 1. [c.51] Такое построение можно осуществить для многочленов произвольной степени т, но в реальных расчетах т 3 используется крайне редко. [c.52] Теперь рассмотрим два конечных элемента, у которых степени свободы помимо значений р(д) содержат также значения частных производных в некоторых узлах. По этой причине мы будем называть их эрмитовыми. [c.52] Отсюда вид базисных функций усматривается однозначно. [c.52] Известны, правда, два выхода из этой ситуации - кусочно-полиномиальные элементы Клафа—Точера или рробно-рациональные сингулярные элементы Зенкевича [75]. Но оба этих типа злементов не удовлетворяют свойству вложенности, которое мы введем позже, и поэтому чрезмерно усложняют алгоритмы на последовательности сеток и не используются в дальнейшем изложении. [c.53] Тогда лагранжев элемент степени 2 на прямоугольнике со задается тройкой Ф ). где Ф = р Ьц), /,/ = О, 1, 2 . Число степеней свободы равно 9 и совпадает с количеством коэффициентов биквадратного многочлена. В итоге набор Ф7 02-разрешим. [c.54] Тогда лагранжев прямоугольный элемент степени т = 3 определяется тройкой (со, бз (ш), Фв), где Ф = р (с у ), /, / = О. 3 . Число степеней свободы равно 16 — столько же коэффициентов у бикубического многочлена из 0з (со). Позтому набор.Фв бз-разрешим. [c.54] Отметим, что в двух последних случаях можно исключить иэ степеней свободы значения функции во внутренних узлах со. Получается класс сирендиповых, или неполных лагранжевых злементов. [c.54] У лагранжева элемента степени 3 можно исключить 4 внутренних узла Сц с индексами /, / =1,2 (рис. 2.3). В качестве допустимого множества функций возьмем пространство многочленов бз, получающееся из 0з отбрасыванием членов видах 1x4, (/, /) е 2, 3 Набор функционалов введем следующим образом Фё = р(с,у), (/,/) е О, 1, 2, ЗГ 1, 2 . В итоге число степеней свободы равно 12. Такова же размерность пространства Qг. Поэтому набор Ф бз-разрешим. Базисные функции также приведены в [75]. Отметим, что (2з Рг - Вследствие этого уменьшение числа узлов и степеней свободы не повлияет на порядок аппроксимации. [c.54] оба сиревдипова элемента имеют такой же порядок аппроксимации, как и соответствующие исходные лагранжевы элементы, но число степеней свободы меньше. В итоге для них размерность дискретной алгебраической задачи также меньше и, таким образом, их использование предпочтительнее. [c.55] Среди всех описанных элементов на прямоугольниках этот элемент единственный, который помимо межзлементной непрерывности базисных функций обеспечивает также непрерывность первых производных. Это позволяет использовать его для решения уравнений четвертого порядка конформными методами. [c.55] Все элементы этого раздела удобны для решения задач в областях, составленных из прямоугольников, или задач с естественными краевыми условиями. Обе ситуации будут продемонстрированы в дальнейшем. [c.55] Вернуться к основной статье