ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача упругости Задача Дирихле для бигармонического уравнения из "Многосеточные методы конечных элементов " Отсюда видно, что постоянная функция w = onst входит в ядро дифференциального оператора, определяемого левыми частями соотношений (1.40), (1.41). Это означает, что задача либо не имеет решения, либо имеет их бесконечно много, поскольку наряду с решением и равенствам (1-40), (1.41) удовлетворяют, например, функции w + aw с произвольной константой а. [c.26] На этом этапе, правда, не ясно, исчерпывается ли требование однозначности этим условием, или ядро имеет большую размерность. [c.26] Тогда получаем следующую обобщенную формулировку вырожденной задачи Неймана шйти функцию ме Й г (52), удовлетворяющую соотношению (1.43) Уи е Р (П). [c.27] Таким образом, при вьшолнении условий равномерной эллиптичности (1.8) и ограниченности (1.44) обобщенная задача Неймана (1.43) имеет единственное решение на основании теоремы 1.1. [c.27] Таким образом, мы получили некоторое необходимое условие разрешимости исходной задачи, которое необязателыю для решения обобщенной задачи. [c.28] Дальнейшие рассуждения с применением срезающей функции проводятся так же, как и для первой краевой задачи. В итоге мы приходим к утверждению, что для обобщенного решения uG Wi (П) внутри П почти всюду вьшолняется (1.40), а на границе Г почти всюду вьшолняется (1.41). [c.28] Положим (1.54) в основу формулировки обобщенной задачи. [c.29] Теперь рассмотрим, как связаны между собой решения исходной и обобщенной задач. Пусть сначала и е (П) ) — решение исходной дифференциальной задачи (1.47), (1.48). Тогда непосредственно из выкладок (1.51)—(1.54) вытекает, что и будет удовлетворять обобщенной формулировке. Ввиду единственности обобщенного решения оно, таким образом, совпадает с и. [c.30] Ввиду произвольности I =1,2,3 и определения тензоров (б,у), (щ/) последнее равенство эквивалентно исходной записи уравнения (1.47). Таким образом, обобщенное решение удовлетворяет исходной дифферешдаально задаче. [c.31] Предполагается, что каждая компонента u ,v принадлежит классу е (П) = 0 на Го). При условии положительной меры Го на Г для этой задачи также справедливо неравенство Корна [84] и утверждение об однозначной разрешимости на основании теоремы 1.1. [c.31] Для перехода к обобщенной задаче предположим, что м G n t (ii). [c.32] При достаточной гладкости / и обобщеного решения и, стандартным )бразом показывается, что и будет также решением исходной задачи. [c.33] Вернуться к основной статье