ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные обозначения классов гладкости из "Многосеточные методы конечных элементов " В этой короткой главе в 1.1 мы приводим формулировки основных краевых задач, изучаемых в книге. Сначала каждая задача ставится в дифференциальном, операторном виде, а затем дается обобщенная формулировка в виде одного или нескольких интегральных тождеств. Разрепшмость получаемых обобщенных задач вытекает из двух абстрактных результатов, также приведенных в 1.1. [c.14] В этом параграфе сначала вводятся основные обозначения и определения классов функций, а затем приводится один часто используемый результат по однозначной разреишмости абстрактной эллиптической задачи, известный в зарубежной литературе как лемма Лакса — Мильграма. [c.14] После этого излагаются основные классы решаемых далее краевых задач для эллиптических уравнений и систем второго и четвертого порядка. Изложение для каждой задачи проводится по следующему плану. Сначала формулируется классическая (операторная) постадовка. Затем из нее выводится обобщенная формулировка, для которой показывается однозначная разрешимость. И наконец, при условии достаточной гладкости обобщенного решения доказывается, что оно будет решением исходной классической задачи. [c.14] В ряде случаев показано, как ослабление некоторых требований в обобщенной задаче приводит по-с)оцеству к новой формулировке исходной дифференциальной задачи. Например, разрывы первого рода коэффициентов главной части эллиптического оператора в обобщенной формулировке не вносят ничего нового, а в операторном виде приводят к задаче дифракции с условиями сопряжения на линиях разрывов. [c.14] Для вырожденной задачи Неймана введение подходящего класса допустимых (в качестве решения) функций приводит к обобщенной задаче с единственным решением. [c.15] И наконец, в смешанном методе для бигармонического уравнения удается существенно снизить требования гладкости к классу допустимых ф)шкций от Н 2 (П) в классической формулировке до (О) в обобщенной смешанной постановке. В дальнейшем мы покажем, что это принципиально упрощает использование конечных элементов для решения эллиптических уравнений четвертого порядка. [c.15] Поскольку в параграфе сконцентрированы результаты, хорошо известные специалистам по дифференциальным уравнениям, то они приведены либо без доказательства, либо с короткими схематическими обоснованиями. Но в обоих случаях даны соответствующие ссылки на известные источники, где есть подробный вывод. [c.15] Пусть теперь П С R - ограниченна область, т.е. открытое связное множество, с границей Г и замыканием i2 = U Г. [c.15] Пространство В(П) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций с носителем в П. [c.15] Числа К VL L для данной области I2 фиксированы, позтому для ограниченной области граница Г мо т быть представлена конечным числом локальных координатных систем и отображений со. [c.16] Вернуться к основной статье