ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Список обозначений из "Многосеточные методы конечных элементов " Метод конечных элементов в настоящее время стал одним из самых распространенных и эффективных методов решения различных задач математической физики и техники. Его популярность связана с универсальностью и простотой математической формы для широкого круга задач в сочетании с гибкостью численных алгоритмов, позволяющих учитывать конкретные свойства индивидуальной задачи. В не меньшей степени его успех обусловлен развитием мощной вычислительной техники и достижениями математики в областях проекщюнных методов и аппроксимащш функций в сочетании с постоянным изобретательством инженеров в зтих направлениях. [c.7] При рассмотрении конкретных задач каждый раз использовались наиболее простые и распространенные конечные элементы с кратким указанием путей применения более сложных элементов. [c.7] В настоящее время появились сотни публикаций, главным образом зарубежных, выявивших несомненную практическую пользу зтих методов, часто опережающих по эффективности другие известные прямые и итерационные методы. Вместе с тем имеется только одна монография В. Хакбуша [134] на зту тему. В ней изложены основные идеи многосеточных методов, их проработка на абстрактном уровне и в справочной форме приведены многочисленные результаты. [c.8] В настоящей книге изложение и обоаювание многосеточных методов проводится более детально, для конкретных задач. Сюда также вошли новые результаты по оптимизации итерационных параметров, решению обобщенных спектральных задач, применению смешанного метода конечных элементов, решению задач с особенностями и криволинейньюли границами. [c.8] Книга ориентирована на инженеров и научных сотрудников, применяющих или разрабатывающих метод конечных элементов для решения практических задач. Изложение проведено так, что основные фрагменты могут быть прямо или по близкой аналогии перенесены на более широкий круг решаемых задач. Относительно замкнутое и детальное изложение доступно студентам старших курсов математических и инженерных специальностей. [c.8] Проинтерполируем его (хотя бы линейно) на более мелкую триангуляцию. Ввиду плавного изменения ошибка будет найдена с достаточно высокой точностью. Далее можно либо провести еще несколько итераций для подавления высокочастотной составляющей, появляющейся при интерполяции, либо повторить еще раз всю процедуру перехода на более крупную триангуляцию. Решение сеточной задачи на триангуляции вдвое или втрое крупнее все еще может представлять собой трудоемкую задачу, поэтому ее решение также можно осуществить приближенно, используя описанный прием перехода на еще более крупную триангуляцию. В итоге этот прием понижения размерности можно использовать до тех пор, пока не перейдем к задаче на самой грубой триангуляции, на которой можно довольно быстро осуществить решение прямым методом. [c.10] В итоге по асимптотическим оценкам эффективности метод опередил известные алгоритмы, но логическая сложность и громоздкое математическое обоснование на некоторое время завуалировали достоинства этого метода. [c.11] На определенном этапе развития метода конечных элементов привлечение нового математического аппарата и программных реализаций существенно снизило трудоемкость алгоритма и упростило его обоснование. Поэтому в конце 70-х годов начинается рост числа статей по многосеточным методам, в основном за рубежом, бурно продолжающийся и в настоящее время. [c.11] Единственная монография В. Хакбуша [134] по многосеточным методам из-за обилия накопившихся и представленных результатов носит, скорее, справочный характер. Поэтому одна из целей написания настоящей книги состояла в систематическом изложении и детальной проработке этого перспективного метода для наиболее распространенных краевых задач математической физики. [c.11] Структура и обоснование многосеточного метода для конечных элементов тесно связаны с тремя первыми этапами дискретизации. Это требует определенной последовательности материала. [c.11] В главе 1 описаны типичные линейные краевые задачи второго и четвертого порядка, указаны приемы перехода от классической, операторной постановки к обойденной вариационной формулировке, в том числе смешанной. Для однородности изложения рассматривался только один вариационный принцип — метод Бубнова—Галёркина. Большинство результатов переносится как на метод Ритца, так и на метод наименьших квадратов. [c.11] Глава 2 посвящена изложению общих свойств конечных элементов и, в сущности, является справочной по наиболее простым и распространенным конечным элементам, а также способам триангуляции двумерных и трехмерных областей, включая сгущение триангуляции вблизи особых точек и линий. [c.11] В главе 3 кратко излагаются вопросы сходимости приближенных решений метода Бубнова — Галёркина в следующей последовательности аппроксимирующие свойства конечных элементов, условия сходимости приближенных решений, выбор экономичных кубатурных формул, способы аппроксимации границы и главных краевых условий, повьппение точности приближенных решений на основе экстраполяции Ричардсона с разных сеток. [c.11] В главе 5 рассматриваются реализации многосеточных алгоритмов для эллиптических уравнений второго порядка. Сначала на примере двумерной задачи Дирихле проведено сопоставление различных вариантов алгоритмов и среди них выбраны оптимальные по числу затрачиваемых арифметических операций. Рассуждения проиллюстрированы численными экспериментами. [c.12] Рассмотрен технический прием построения вложенных сеток для задач в областях с криволинейной границей и основанные на нем конкретные реализации итеращюнных алгоритмов. [c.12] Вернуться к основной статье