ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первоначальное знакомство с методом конечных элементов на примере решения одномерных задач теории упругости из "Метод Конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей " Решение любой из упомянутых выше простых одномерных задач может быть получено с помощью подходящего аналитического мсюда. Большинство же инженерных задач не поддается аналитическому решению. Более того, вряд ли целесообразно требовать ( Чпого решения инженерной задачи, поскольку инженер, как правило, не может гарантировать точность исходных данных. [c.5] Подлежащая исследованию область изменения искомых функций разделяется на ряд подобластей простой формы. Искомые функции аппроксимируются в пределах каждой подобласти полиномами так, что коэффициенты аппроксимирующих полиномов выражаются через значения искомых функций в конечном числе так называемых узловых точек подобласти. Подобласть с выбранными узловыми точками называется конечным элементом. Силовое взаимодействие между конечными элементами осуществляется только в узловых точках. Определение искомых функций в узлах сетки конечных элементов является, по существу, решением задачи Задача об определении узловых значений решается обычно с использованием подходящего вариационного принципа. Принятые для искомых функций аппроксимации сводят задачу о нахождении условий стационарности соответствующего функционала к задаче об экстремуме функции многих переменных. Условие экстремума такой функции представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах, которая, по сути, является системой разрешающих уравнений МКЭ. [c.5] Вариационное уравнение Лагранжа в МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений, которые по своему физическому смыслу представляют собой уравнения равновесия узлов. [c.6] Точки интерполяции х[ и называются узловыми точками или узлами. Матрица N( называется матрицей функций формы. Функции и называются функциями формы. Важно понять, что функции формы предназначены для интерполяции по выбранной форме (в нашем примере линейной) решения при помощи узловых значений. Аналогичные рассуждения можно провести применительно к подынтервалу Ал г, для которого узловые точки, узловые значения и функции формы имеют индекс (е — 1) (рис. 1.1, в). [c.8] Таким образом, узловыми точками Ха и функциями формы (а = /) определен одномерный линейный конечный элемент. Линейность конечного элемента означает линейную зависимость функций формы относительно л . Формула (1.10) дает решение задачи в пределах конечного элемента при условии, что узловые значения (а = , ) известны. [c.8] Вернуться к основной статье