ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение родственного соответствия в задачах начертательной геометрии из "Вопросы современной начертательной геометрии " Покажем теперь, как можно пользоваться свойствами родственного соответствия в задачах начертательной геометрии. Начнём с задачи ортогонального проектирования плоской фигуры на две плоскости (метод Монжа). [c.18] Каждая плоская фигура имеет две проекции горизонтальную (на плоскость Н) и вертикальную (на плоскость V). Изучим характер того соответствия, которое имеет место ме жду этими двумя проекциями. [c.18] Если точка М будет произвольно перемещаться, оставаясь в плоскости а, то точка /п будет перемещаться в плоскости Н и может занять в этой плоскости любое положение. Именно, задав а priori положение точки т , можно найти соответствующее ему положение точки М на плоскости а. Для этой цели достаточно восставить в точке Отд перпендикуляр к плоскости Н и продолжить его до пересечения с плоскостью а в искомой точке М. Опустив затем из точки М перпендикуляр на плоскость V, найдём и вертикальную проекцию /Из этой точки. Положение одной из точек Отд и определяет положение другой. Следовательно, на эпюре устанавливается некоторое точечное соответствие. Средством для этого установления служит плоскость а соответственные точки служат горизонтальной и вертикальной проекциями одной и той же точки плоскости а. [c.19] Легко видеть, что, если три точки лежат на одной прямой, то и соответствующие им точки также лежат на одной прямой. Таким образом, в этом соответствии каждой прямой соответствует прямая. Двум параллельным прямым, очевидно, соответствуют две параллельные прямые. [c.19] Каждую точку эпюра можно считать горизонтальной (или вертикальной) проекцией точки плоскости а и находить соответствующую ей вертикальную (или горизонтальную) проекцию той же точки. [c.19] Для большей ясности мы будем говорить, что вся плоскость эпюра покрыта двумя плоскими полями точек плоское поле точек, служащих вертикальными проекциями точек плоскости а, и плоское поле точек, служащих горизонтальными проекциями точек той же плоскости. Первое поле будем называть верхним полем, второе назовём нижним полем. Плоскость а устанавливает, таким образом, соответствие между точками верхнего и нижнего полей. Каждую точку эпюра можно считать принадлежащей к любому из этих полей и находить ей соответствующую в другом поле. [c.19] Первое из этих условий, очевидно, выполняется, так как прямая, соединяющая горизонтальную и вертикальную проекции точки, перпендикулярна к оси проекций. Все такие прямые параллельны между собою. [c.20] Следовательно, всякие две соответственные прямые и 2 пересекаются на одной и той же прямой = К . [c.21] Таким образом, и второе условие, которому должно удовлетворять родственное соответствие, также выполняется. Значит, установленное соответствие есть родственное. Прямая (/Сд = служит его осью, а направление родства перпендикулярно к оси проекций. [c.21] Каждая плоскость в пространстве, не перпендикулярная ни к плоскости Н, ни к плоскости V, устанавливает, таким образом, на эпюре некоторое родственное соответствие, в котором пары родственных точек служат парами проекций точек этой плоскости на плоскости Н п V. [c.21] Покажем, что, и обратно, произвольное родственное соответствие на эпюре, в котором направление родства перпендикулярно к оси проекций, определяет некоторую плоскость в пространстве, причём пары точек, прямых и произвольных фигур, родственных в данном соответствии, будут являться парами проекций точек, прямых и соответствующих фигур, лежащих в этой плоскости. [c.21] Каждому способу задания плоскости на эпюре соответствует свой способ установления на эпюре родственного соответствия. [c.22] Если плоскость задаётся тремя точками, то на эпюре тем самым даются горизонтальные и вертикальные проекции этих трёх точек. Пара этих проекций, соответствующая какой-либо одной точке, является парой родственных точек в искомом родственном соответствии. Таким образом, для искомого родственного соответствия будут известны три пары родственных точек, чем родственное соответствие вполне определяется. [c.22] Если плоскость задаётся одною точкой и непроходящей через неё прямою, то на эпюре будут заданы пары проекций этой точки и этой прямой. Таким образом, для искомого родственного соответствия будут известны одна пара родственных точек и одна пара родственных прямых, чем родственное соответствие вполне определится. [c.22] Если плоскость задаётся в пространстве двумя пересекающимися прямыми, то для искомого родственного соответствия будут известны две пары родственных прямых, чем родственное соответствие вполне определяется. [c.22] Таким образом, каждому способу задания плоскости в пространстве отвечает свой способ установления родственного соответствия на эпюре. [c.23] Такова связь между заданием плоскости на эпюре и заданием родственного соответствия. Покажем теперь, что различные задачи на нахождение соответственных элементов в родственных соответствиях равносильны соответствующим задачам начертательной геометрии. Для этой цели рассмотрим ряд примеров. [c.23] Пример 1. Родственное соответствие задано тремя парами родственных точек А,А В,В С, Сд. Для данной прямой I построить родственную ей прямую (черт. 9). [c.23] Пример 2. Родственное соответствие задано тремя парами родственных точек А, А В,В , С, Сд. Для данной точки К построить ей родственную точку К1 (черт. 9). [c.24] Вернуться к основной статье