ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О возможности обоснования, не пользующегося метрической неразложимостью из "Математические основания статистической механики " Все результаты Биркхоффа и его последователей (а также и все соображения, изложенные нами в предыдущем параграфе) относятся к весьма общему типу динамических систем и имеют в виду самые различные связанные с этими системами проблемы. Авторы этих исследований как правило работали над построением так называемой общей динамики — важной и интересной ветви современной механики их не занимала специальная интересующая нас проблема обоснования статистической механики они стремились придать своим выводам возможную общность в частности, все полученные в этой области результаты в одинаковой степени имеют силу как для систем с несколькими немногими степенями свободы, так и для систем, число степеней свободы которых чрезвычайно велико. [c.44] С точки зрения той специальной цели, которая стоит перед нами, мы, естественно, можем, а в значительной степени и должны в известном месте сойти с этого пути. Мы ненужным образом стеснили бы себя, если бы не стали учитывать особых свойств тех систем, с которыми имеет дело статистическая механика (и прежде всего основного свойства этих систем — очень большого числа степеней свободы), требуя от всех получаемых нами результатов, чтобы они имели силу для любых динамических систем. Точно так же, у нас нет оснований требовать возможности замены временных средних фазовыми для всех функций, в то время как функции, в отношении которых такая замена желательна для целей статистической механики, имеют много специфических черт, делающих для них законность этой замены значительно более правдоподобной, чем для любой произвольной фазовой функции. Настоящий параграф будет посвящен нескольким элементарным замечаниям, идущим в указанном направлении. [c.44] В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44] Здесь будет уместным еще одно замечание. Во всяком случае, как в предшествующих параграфах, так и в настоящем, мы удовлетворились таким положением вещей, когда желательное нам явление оказывалось имеющим место для всех точек поверхности На, за исключением некоторого множества весьма малой меры (иногда прямо меры нуль). Ясно, что, становясь на такую позицию, мы тем самым принимаем совершенно определенную предпосылку мы допускаем, что если какая-нибудь совокупность состояний системы изображается на поверхности множеством весьма малой относительной меры, то состояния, принадлежащие этой совокупности, весьма редко наступают в действительности. Точное математическое содержание эта предпосылка получает в терминах теории вероятностей смысл ее, очевидно, в том, что, рассматривая различные состояния системы (т. е. точки поверхности ) как случайные события, мы предполагаем, что они подчиняются любому, но только абсолютно непрерывному, закону распределения (т. е. именно такому, где множеству достаточно малой меры соответствует как угодно малая вероятность). [c.46] Такая предпосылка, действительно, является неизбежной при любом сопоставлении нашей теории с действительностью в качестве рабочей гипотезы она не должна вызывать никаких сомнений, будучи вполне естественной и оставляя широкий простор для распределений, имеющих место в действительности. [c.46] Рассмотрим, наконец, еще одно несложное соображение, относящееся к этому же кругу идей. Условимся называть суммируемую фазовую функцию /(Р) эргодической, если для почти всех траекторий /(Р) = /. Мы уже говорили выше, что большинство изучаемых в статистической механике фазовых функций имеет тип сумматорной функции, т. е. представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной из составляющих данную систему молекул. Очевидно, такая функция будет эргодической, если этим свойством обладает каждое из ее слагаемых, ибо оба средние / и / являются линейными образованиями. Таким образом, для установления эргодичности таких функций было бы достаточно убедиться в эргодичности функций, зависящих от состояния одной единственной молекулы. Мы имеем в виду привести теперь некоторые соображения, направленные к тому, чтобы сделать правдоподобным этот последний факт. [c.46] Теорема. Если R u) О при и оо, то функция f P) эргодическая. [c.47] Доказательство. Полагая, как обычно. [c.47] Вернуться к основной статье