ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О метрической неразложимости редуцированных многообразий из "Математические основания статистической механики " О или 1, фазовая средняя имеет промежуточное значение). [c.39] Возьмем поверхность постоянной энергии, на которой функция р не сохраняет почти всюду постоянного значения тогда мы можем указать такое вещественное число а, чтобы каждая из двух частей, на которые распадается взятая поверхность соответственно неравенствам а я а, была множеством положительной меры ). Но так как является интегралом уравнений движения, то каждая из этих двух частей есть инвариантное множество. Это показывает, что взятая нами поверхность постоянной энергии не может обладать метрической неразложимостью. [c.40] Это элементарное рассуждение оставляет впечатление, что метрическая неразложимость поверхностей постоянной энергии есть гипотеза, которая, подобно эргодической гипотезе Больцманна, никогда не может осуществиться в действительности и, следовательно, должна быть отброшена как мы знаем, это означало бы и полное решение эргодической проблемы в отрицательном смысле. [c.40] Формально против проведенного нами рассуждения ничего возразить нельзя, и мы, действительно, должны признать, что в том виде, как мы ставили ее до сих пор, эргодическая проблема решается отрицательно. Однако, мы теперь убедимся в том, что при некотором вполне разумном и естественном изменении в постановке самой задачи мы можем притти, по меньшей мере в некоторых случаях, и к положительным результатам. [c.40] До сих пор мы всегда подразумевали, не высказывая этого явно, что две различные точки фазового пространства изображают собой два различных состояния нашей механической системы. Однако, на самом деле в очень многих случаях дело обстоит иначе разным точкам пространства Г могут соответствовать механические состояния системы, тождественные между собой. [c.40] Поясним это. Во многих случаях мы бываем вынуждены характеризовать одно и то же физическое состояние системы не одной, а несколькими или даже бесконечным множеством систем значений ее динамических координат. Так, для точки, равномерно движущейся по окружности, мы, характеризуя ее положение центральным углом, отсчитываемым от какого-либо постоянного радиуса, должны считать тождественными состояния, для которых величины этого угла отличаются друг от друга на кратные 2тг. [c.40] С другой стороны, очевидно, что всякая физическая величина, характеризующая состояние данной системы, должна однозначно определяться заданием этого состояния фазовая функция, интерпретирующая эту физическую величину в нашей теории, должна поэтому принимать одинаковые значения в двух точках фазового пространства, соответствующих одному и тому же состоянию данной системы. Условимся называть нормальной всякую фазовую функцию, удовлетворяющую этому требованию. [c.40] Теорема. Для того, чтобы временные средние любой нормальной суммируемой функции, взятые вдоль почти всех траекторий данной поверхности постоянной энергии, совпадали с фазовой средней этой функции на данной поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта поверхность обладала метрической неразложимостью в расширенном смысле. [c.41] Доказательство этой теоремы может быть проведено во всей полноте совершенно аналогично рассуждениям 6 предыдущей главы (достаточность) и начала настоящего параграфа (необходимость) мы предоставляем его читателю. [c.41] Эргодическая проблема после произведенного изменения сводится теперь к вопросу о том, обладают ли, вообще говоря, поверхности постоянной энергии изучаемых нами механических систем метрической неразложимостью в расширенном смысле. Покажем прежде всего, что рассуждение, с помощью которого мы выше установили невозможность метрической неразложимости в ее первоначальном смысле, непосредственно ничего нам не дает, если понимать метрическую неразложимость в смысле расширенном. [c.41] В самом деле, в этом рассуждении мы разбивали данную поверхность постоянной энергии на две части, причем принадлежность точки к той или другой из этих частей определялась тем значением, которое в этой точке получает некоторый интеграл р. Но теперь у нас речь идет только о таких разбиениях, которые мы выше назвали нормальными вместе с данной точкой к той или другой части должны принадлежать и все физически эквивалентные ей точки, т. е. все точки, изображающие то же самое механическое состояние системы. Если нормальный интеграл, т. е. принимает во всех таких точках одинаковое значение, то наше прежнее рассуждение остается в силе но если интеграл (р не обладает нормальностью, то при определении множеств М1 и М2, мы уже не можем начинать с произвольного разбиения совокупности всех принимаемых интегралом (/ значений на две части если мы хотим, чтобы разбиение (М1, М2) поверхности было нормальным, то мы, очевидно, должны, разбивая на две части совокупность значений интеграла р, озаботиться тем, чтобы значения, принимаемые этим интегралом в двух физически эквивалентных точках, всегда были относимы к одной и той же части. Это требование (дальше мы увидим это на примере), может оказаться несовместимым с требованием, чтобы Мг и М2 были инвариантными множествами положительной меры. Наше прежнее рассуждение в этом случае теряет силу, и возможность метрической неразложимости в расширенном смысле остается открытой. [c.41] Мы приведем дальше простейший из известных примеров такого положения вещей. Сейчас же заметим только, что, как показывает проведенное нами рассуждение, метрическая неразложимость невозможна даже в расширенном смысле, если среди свободных интегралов имеется хотя бы один нормальный другими словами, для достижения метрической неразложимости редуцированного фазового пространства необходимо фиксировать значения всех нормальных интегралов. В частности, интеграл энергии, будучи всегда нормальным, подлежит обязательной фиксации. Если система не имеет других нормальных интегралов движения, то можно ставить вопрос о метрической неразложимости в расширенном смысле поверхностей постоянной энергии. [c.41] Первые два из этих интегралов нормальны (так как две физически эквивалентные точки могут отличаться значениями переменных (/ и -0, но (/ и ф имеют для них одни и те же значения), а третий — нет в самом деле, пусть для какого-нибудь состояния системы р,ф, р, ф ) третий интеграл имеет значение / при любых целых к и I точка (р + к,ф + I, (р, ф ) изображает то же состояние системы, что и точка р, ф, р, ф ) но в этой точке значение нашего третьего интеграла равно I + кф — 1(р и, вообще говоря, отлично от / более того, если значения р и ф несоизмеримы между собой, этот третий интеграл имеет для данного состояния всюду плотное множество значений. [c.42] Здесь необходимо небольшое разъяснение множества Мх и М2, нормально разбивающие плоскость ((/ , ф), будут, разумеется, иметь бесконечную меру, что не предусмотрено определением нормального разбиения однако, в нашем случае это положение вещей не может вызвать затруднений, так как в силу упомянутой уже физической эквивалентности любых двух квадратов типа (22) мы для фазового осреднения любой нормальной функции можем ограничиться рассмотрением основного квадрата О (/ 1,О -0 1 всякое нормальное разбиение этого квадрата, конгруэнтно перенесенное на все квадраты типа (22), мы, естественно, называем нормальным разбиением плоскости ((/ , ф). [c.42] Здесь р х) = X — [х] означает дробную часть вещественного числа х. [c.42] Пусть теперь е О произвольно мало и пусть (61, 62) такой интервал стороны (/ = О основного квадрата, в котором средняя плотность множества Ах превосходит 1 — е, т. е. [c.43] Вопрос о том, может ли эта расширенная метрическая неразложимость рассматриваться как общее свойство достаточно широких классов встречающихся в статистической физике систем, мы не можем в настоящее время считать решенным. Отметим только, что рядом авторов построены другие, иногда довольно общего типа, подобные примеры, а также высказан ряд соображений в пользу более или менее широкой распространенности этого явления. Мы здесь не будем касаться этих вопросов, а займемся в следующем параграфе дальнейшим анализом тех случаев, которые имеют наиболее актуальное значение для статистической механики. [c.44] Вернуться к основной статье