ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интерпретация физических величин в статистической механике из "Математические основания статистической механики " Значения физических величин, характеризующих состояние изучаемой нами системы, однозначно определяются этим состоянием, которое мы в нашей теории, в свою очередь, описываем совокупностью динамических координат. Таким образом, физическая величина, как правило, является функцией динамических координат системы, или, что то же, функцией точки ее фазового пространства, или, наконец, как мы условились говорить, фазовой функцией. Желая сопоставить выводы нашей теории с данными опыта, состоящего в измерении тех или других физических величин, мы должны поэтому сравнивать даваемые опытом значения какой-либо физической величины с даваемыми теорией значениями соответствующей фазовой функции. Однако, при такой постановке задачи мы немедленно сталкиваемся с рядом принципиальных затруднений, грозящих лишить эту задачу всякого содержания. Дело в том, что фазовые функции системы, вообще говоря, представляют собой величины, получающие весьма различные значения для различных состояний системы. Для того, чтобы сравнивать эти значения с экспериментальными данными, мы должны были бы иметь возможность определять состояние системы в момент экспериментального измерения, т. е. определять значения всех динамических координат системы для этого момента для газа, например, это означало бы по меньшей мере определение положений и скоростей всех составляющих его молекул, т. е. задачу, заведомо невыполнимую. Если же от этого отказаться, то остается совершенно открытым вопрос о том, для каких же состояний системы мы должны вычислять те значения фазовых функций, которые нам предстоит сличать с данными опыта. [c.33] Следующие соображения дают нам возможность несколько смягчить остроту этого затруднения. Эксперимент или наблюдение, позволяющие нам измерить значение той или другой физической величины, происходят не мгновенно, но требуют для своего выполнения некоторого промежутка времени, который, сколь бы малым он ни казался нам, все же, как правило, будет очень велик с точки зрения наблюдателя, следящего за эволюцией изучаемой нами физической системы, успевающей за этот промежуток времени претерпеть огромное число различных пертурбаций (например, взаимных столкновений молекул), могущих существенным образом менять значения соответствующей фазовой функции. То, что дает нам эксперимент или наблюдение, мы должны поэтому сопоставлять не с отдельными значениями фазовых функций, а со средними их значениями, и притом взятыми за весьма большие промежутки времени иначе говоря, — с тем, что мы в предыдущей главе условились называть временными средними фазовых функций вдоль траектории, изображающей эволюционный путь изучаемой системы. [c.33] Это соображение, конечно, значительно меняет картину, но вместе с тем немедленно создает ряд новых трудностей. Первая из них состоит в том, что временные средние данной фазовой функции, взятые вдоль данной определенной траектории, могут быть весьма различными для различных промежутков времени. Эта трудность в значительной степени смягчается теоремой Биркхоффа, показывающей, что для почти всех траекторий временные средние данной фазовой функции, стремясь к определенному пределу при безграничном увеличении взятого промежутка времени, будут иметь приблизительно одинаковые значения для всех достаточно больших промежутков. В качестве даваемого теорией среднего значения нам естественно поэтому выбрать именно вышеупомянутый предел. [c.33] Однако, имеется и вторая трудность, преодоление которой несравненно сложнее. Дело в том, что мы не имеем никакой возможности узнать, какую из траекторий своего фазового пространства пробегает изучаемая система. Если эта система имеет я степеней свободы (число, как правило, очень большое), то для определения ее траектории потребовалось бы найти значения 2я — 1 не зависящих от времени интегралов уравнений движения, между тем как в действительности мы имеем возможность приближенно определить лишь очень небольшое число этих интегралов (так, мы почти всегда считаем данной величину энергии нашей системы). Знание каждого интеграла дает нам в фазовом пространстве поверхность, на которой должна быть расположена искомая траектория если известны значения к таких интегралов, то тем самым известно, что искомая траектория принадлежит некоторому редуцированному многообразию фазового пространства, имеющему 2з — к измерений, так что только при к = 2з — 1 траектория является полностью определенной если, как это обычно бывает, мы можем считать известным только один интеграл энергии, то к = 1, и о траектории известно только, что она принадлежит некоторому определенному многообразию 25 — 1 измерений (поверхности постоянной энергии). [c.34] В силу теоремы 6 есть, однако, один случай, когда возникшее затруднение отпадает. Если данная поверхность постоянной энергии метрически неразложима, то временные средние любой суммируемой фазовой функции для почти всех траекторий одинаковы и совпадают с фазовой средней этой функции на данной поверхности постоянной энергии. В этом случае, следовательно, каждая физическая величина получает в нашей теории совершенно определенную интерпретацию — фазовую среднюю соответствующей фазовой функции, и тем самым снимаются те затруднения, о которых говорилось выше. [c.34] Фактически дело обстоит так, что во всех изложениях статистической механики в качестве теоретической интерпретации любой физической величины принимается именно эта фазовая средняя. При этом в пользу такого выбора либо вообще никаких аргументов не приводится, либо строится какая-либо специальная гипотеза, имеющая целью оправдать этот выбор, либо, наконец, просто излагается ряд соображений, говорящих в пользу такой интерпретации, причем указывается, что эти соображения не являются логически принудительными и что в конечном счете общее признание эта интерпретация получила в результате тех успехов, к которым привела построенная на ней теория. Последний путь нам представляется наиболее выдержанным в научном отношении, и мы в следующих параграфах этой главы попытаемся подробно рассмотреть с точки зрения современных идей важнейшие относящиеся сюда вопросы. [c.34] Здесь же мы отметим еще только, что в силу сказанного проблема математического обоснования статистической механики в основном сводится к двум задачам. Первая из них состоит в том, чтобы с возможной полнотой исследовать, при каких условиях и в какой мере временные средние фазовых функций, являющиеся, как мы видели, естественной интерпретацией результатов экспериментальных измерений, могут быть заменены в этой своей роли фазовыми средними тех же функций. Желательность, а в сущности даже и неизбежность, такой замены, конечно, ясна вычисление временных средних потребовало бы знания траекторий, т. е. полной интеграции системы уравнений движения и определения всех постоянных интеграции, что, конечно, является совершенно невозможным для систем статистической механики с их огромными числами степеней свободы. Как уже сказано, вопросами, связанными с этой первой задачей, мы займемся в дальнейших параграфах настоящей главы. [c.34] Вернуться к основной статье