ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ограничения метода растянутых координат ИЗ Пример слабо нелинейной неустойчивости из "Методы возмущений " В предыдущих параграфах было показано, что метод растянутых координат является мощным средством для построения равномерно пригодных разложений в различных физических задачах. Однако, несмотря на успех при исследовании гиперболических дифференциальных уравнений для волн, распространяющихся в одном или в двух направлениях, этот метод не может быть применен для построения равномерно пригодных разложений эллиптических дифференциальных уравнений. Хотя Лайтхилл [1951] и получил равномерно пригодное разложение до второго порядка для обтекания несжимаемой жидкостью тонкого кругового крыла, Фокс [1953] нашла высшие приближения, которые не являются равномерно пригодными. Она доказала также, что для обтекания тонкого крыла сжимаемым газом не может быть получено равномерно пригодного разложения даже второго порядка. В связи с этим Лайтхилл [1961] в более поздней статье рекомендовал применять его метод только для гиперболических дифференциальных уравнений. Несмотря на это, Вальо-Лорен [1962] успешно применил этот метод в сочетании с методом интегральных соотношений в задаче о тупом теле (смешанная краевая задача). Более того, Эмануэль [1966] и Куйкен [1970] успешно применили этот метод к параболическим задачам, связанным с исследованием нестационарного турбулентного потока при диффузии и химических реакциях, а также потока вдоль наклонной поверхности, вызванного сильным впрыскиванием жидкости. [c.113] Следует упомянуть, что Хугстратен [1967] модифицировал этот метод применительно к задачам о дозвуковом обтекании тонкого крыла. Он ввел функцию, равномерно приближающую отображение физической плоскости на плоскость, в которой крыло представлено своей хордой. [c.113] Цянь Сюэ-сэнь [1956] высказал предположение, что ограниченность применения метода растянутых координат к исследованию задачи о тонком крыле объясняется тем, что разложения для функций выписываются вблизи нерегулярной точки. К счастью. [c.113] МОЖНО заметить, что особенности переносятся с зависимых переменных на растягивающие функции, и таким образом можно обнаружить неоднородность в результирующем разложении. Юнь [1968] разложил функцию вблизи нерегулярной особой точки, чтобы получить разложение, пригодное вблизи критического волнового числа, соответствующего разрыву струи, для нелинейной устойчивости жидкой цилиндрической струи. Однако результирующее разложение не имело особенности, хотя, как показал Найфэ [1970с], оно нарушалось при критическом волновом числе. Мы покажем трудности, с которыми столкнулся Юнь, на примере модельной задачи о слабо нелинейной неустойчивости стоячих волн (п. 3.5.1). [c.114] Как показал Леви [1959], метод растянутых координат непригоден для класса задач с сингулярными возмущениями, в которых малый параметр стоит при высших производных (п. 3.5.2). Он показал, что этот метод приводит к ошибочным результатам в задаче о цилиндрических ударных волнах. Тем не менее можно показать, что растяжение зависимых вместо независимых переменных приводит к равномерно пригодному разложению (упражнение 3.33). [c.114] Несмотря на то что этот метод дает равномерно пригодные разложения для периодических решений в слабо нелинейных колебательных системах, Найфэ [1966] показал, что эти разложения не содержат никакой информации, кроме предельных циклов и предельных точек. Вообще, если амплитуда изменяется, то метод растянутых координат неприменим. [c.114] Мы покажем трудности метода растянутых координат на следующих примерах. [c.114] Можно проверить, что (3.5.10) является асимптотическим разложением точного решения (3.5.8) при больших х. Заметим, что это разложение становится непригодным вблизи х = 0, потому что первый член сингулярен, а члены высших порядков все более и более сингулярны. Если х = 0 е ), то все члены этого разложения имеют порядок 0(е-1/ ). Таким образом, это разложение никогда не будет адекватным разложением в области х = 0(е1 2). [c.116] Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если (а) Шр Зш и (б) Шр ж и/3. [c.119] Определить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых, используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера. [c.119] Решения искать в виде ы = а ехр i (fex—w ) +высшие гармоники. Определить сдвиг частоты и волнового числа. [c.120] Построить разложение первого порядка, если X близко к 2 или к 5. [c.121] Результаты 3.5 показывают, что с помощью метода растянутых координат нельзя получить равномерно пригодные разложения в случаях, когда в некоторых областях изменения независимых переменных зависимые переменные испытывают резкие изменения. В таких случаях, как правило, прямые разложения становятся непригодными в указанных областях, и почти тождественные преобразования независимых переменных (растянутые координаты) не могут компенсировать этих резких изменений. Чтобы получить равномерно пригодные разложения, мы должны выяснить и использовать тот факт, что эти резкие изменения характеризуются увеличенными масштабами, отличными от характерных масштабов изменения зависимых переменных вне областей резких изменений. [c.124] Один из методов, связанных с этой проблемой, заключается в построении прямых разложений (называемых внешними разложениями) с использованием исходных переменных и в построении разложений (называемых внутренними разложениями), описывающих эти резкие изменения и использующих увеличенные масштабы. Внешние разложения становятся непригодными в областях резких изменений, в то время как пригодность внутренних разложений нарушается при выходе из этих областей. Чтобы связать эти разложения, используют так называемую процедуру сращивания. Этот метод называется методом внешних и внутренних разложений, или, по Брезертону [1962], методом сращивания (сшивки) асимптотических разложений. [c.124] Другой метод построения равномерно пригодных разложений основан на предположении, что каждая зависимая переменная является суммой, состоящей из 1) части, характеризующейся исходными независимыми переменными, и 2) частей, характеризующихся увеличенными независимыми переменными, причем каждой области резких изменений отвечает своя часть в этой сумме. Это является простейшей формой метода составных разложений. [c.124] Это уравнение является уравнением первого порядка и не может, вообще говоря, удовлетворить общим граничным условиям (4.1.2). Следовательно, одно из этих граничных условий должно быть опущено. В п. 4.1.2 будет показано, что должно быть опущено условие у(0)=а. Это можно видеть также и из точного решетя (2.2.7). [c.125] Это выражение содержит одну произвольную постоянную А. Обозначим это решение через и назовем его внутренним решением или внутренним разложением. [c.126] Таким образом, составное решение является хорошим приближением во внешней области как внешнее решение и во внутренней области как внутреннее решение. Это наводит на мысль, что составное решение является равномерным приближением на всем интервале изменения х, включая промежуток между внешней и внутренней областями. Успех сращивания обусловлен наличием общей области, в которой как внешнее, так и внутреннее решение пригодно, и, следовательно, между этими областями нет пробела. [c.127] КОСТИ как нормальная, так и тангенциальная компоненты скорости на поверхности тела должны обратиться в нуль. Последнее условие называется условием прилипания, потому что любая незначительная вязкость заставляет жидкость прилипать к телу. Если вязкость обращается в нуль, то уравнение для функции тока приводится к уравнению третьего порядка (п. 2.2.2) и, следовательно, не может удовлетворить всем граничным условиям. Поскольку невязкая жидкость может проскальзывать, то условие прилипания опускается, и в результате решение будет представлять движение жидкости всюду, кроме малой области вблизи тела, называемой пограничным слоем Прандтля. В этой области тангенциальные компоненты скорости изменяются очень сильно от значения, полученного из предельного уравнения (с вязкостью, равной нулю), до нуля, чтобы удовлетворить краевому условию прилипания, которое ранее было опущено. Для описания течения в этой области Прандтль увеличил ее, введя преобразование растяжения, оценил порядок величины различных членов исходного дифференциального уравнения и отбросил малые члены. Полученные таким образом уравнения были решены, и их решения были сращены с решением задачи для невязкой жидкости с использованием условия сращивания (4.1.16). [c.128] Вернуться к основной статье