ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приемы построения схем высокого порядка из "Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики " Большая точность схем высокого порядка аппроксимации, достигаемая на гладких и плавно меняющихся решениях исходной задачи, стимулировала разработку схем, порядок которых больше двух. Некоторые методы построения таких схем можно условно классифицировать следующим образом использование многоточечных шаблонов использование дифференциальных следствий исходных уравнений применение компактных аппроксимаций. [c.9] Вместе с тем, понимая процесс повышения точности разностных решений в более широком смысле, следует выделить эффективный метод, использующий комбинации сеточных функций, полученных на разных сетках (метод Ричардсона) подробнее его исследование изложено в [14]. Можно отметить также метод, основанный на формировании комбинаций решений, полученных при помощи некоторых базисных схем однопараметрического семейства (метод параметрической коррекции [15]). [c.9] Имея в виду, что подобные подходы представляют самостоятельный интерес и в принципе могут сочетаться с различными разностными схемами, ограничимся вопросами конструирования аппроксима1щй высокого порядка дифференциальных операторов, коротко ошсав концепции, положенные в основу перечисленных выше направлений. [c.10] Вместе с тем разумное использование многоточечного шаблона позволило создать целый ряд удачных явлений схем высокого порядка (третьего или четвертого) дпя уравнений гиперболического типа, и в частности для уравнений Эйлера невязкого газа [16—19]. Все они могут быть объединены в многонараметрическое семейство схем, основанных на идеях метода Рунге—Кутта. Можно отметить также схему третьего порядка [19], совпадающую в линейном случае со схемой максимального порядка на четырехточечном шаблоне [20]. [c.10] Весьма общим методом построения схем /щя заданного многоточечно10 шаблона является запись их в виде суммы значений искомой функции в узлах этого шаблона, умноженных на неизвестные коэффициенты, с дальнейшим определением последних из условия обнулегая погрешности аппроксимации вплоть до желаемого порядка (см., например, [3]). Преимущество такого подхода состоит в том, что можно оставить один или несколько коэффициентов в качестве свободных параметров, управляющих теми или иными свойствами схемы [21 ]. [c.10] Следует иметь в виду, что в случае многоточечных шаблонов требуется нестандартная запись схемы в нршраничных узлах, что в некоторых случаях может породить дополнительные проблемы. Использование многоточечного шаблона может стать весьма эффективным при построении нелинейных схем с обратной связью (например, с адаптирующимися шаблонами [22]). [c.10] Использование дифференциальных следствий исходных уравнений. [c.10] Существенным моментом при построении схем высокого порядка может стать тот факт, что сходимость разностного решения к точному для устойчивого алгоритма обеспечивается аппроксимацией на точном решении и не требует аппроксимации на произвольной гладкой функции. [c.10] Аналогичная идея была применена в [25], разница состояла лишь в том, что сеточные функции, аппроксимирующие производные и использовались для представления интегралов по границе ячейки сетки в интегро-интерполяциоином методе (см., например, [26]). [c.11] Использование продолженной системы уравнений или эквивалентного способа разложения в ряд позволяет строить аппроксимации высокого порядка для уравнений различных типов. [c.11] В общем случае под /у можно понимать аппроксимацию в узле х -некоторого дифференциального оператора, содержащего операторы производных по X первого и второго порядков и входящего в формулировку исходной задачи. [c.12] Удобство соотношений типа (0.17) состоит в том, что основанные на них алгоритмы реализуются трехточечными прогонками с числом арифметических операций, пропорциональным числу узлов сетки, и являются экономичными. [c.12] При небольших числах Рейнольдса, когда сеточные числа Рейнольдса также малы, вполне приемлемыми оказываются более простые центрированные (и, в частности, компактные) аппроксимации. Такие схемы были получены на основе аппроксимации первых производных вида (0.20) и аналогичных соотношений для вторых производных [31—34]. [c.13] Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13] Первая глава посвящена теории схем с компактными аппроксимациями третьего порядка. Здесь рассмотрен широкий круг вопросов, связанный с описашем различных способов использования этих аппроксимаций, с исследовашем их свойств, а также применением их при дискретизации скалярных или векторных уравнений первого или второго порядка в случае одной и нескольких пространственных координат. Здесь же приводятся сведения о конструировании центрированных компактных схем некоторые из них могут быть получены, в частности, путем симметризации схем третьего порядка. Дпя более полного ознакомления с деталями этих схем заинтересованному читателю можно рекомендовать оригинальные работы [30—36]. Краткое описание центрированных компактных схем приводится также в монографии [1]. [c.13] Примеры применения рассмотренных методов, представленные в главах 2 и 3, имеют иллюстративный характер. Основное внимание здесь уделяется вычислительным аспектам решаемых задач, а не обсуждению аэродинамических характеристик течений. Это обстоятельство наложило отпечаток и на сам подбор примеров, многие из которых либо носят модельный или тестовый характер, либо являются характерными задачами. [c.13] Вернуться к основной статье