ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры эллиптических краевых задач из "Метод конечных элементов для эллиптических задач " Будем использовать также другие обозначения Dv a) = v (а) и D4i (а) = v (а). [c.21] Для обозначения градиента функции и в точке а, т. е. вектора в R , компоненты которого являются частными производными djV a), 1 иногда будем использовать символ а) или grad и (а). [c.21] Как правило, символами D v, и , d,-v, d v и т. д. будут обо зна-чаться функции, связываемые с какой-либо производной или частной производной. [c.22] Пусть задано ограниченное открытое подмножество Q в R . Пространство S (Q) состой г из всех бесконечное число раз дифференцируемых функций и й— -R с компактным носигелем. [c.22] Это неравенство известно как неравенство Пуанкаре—Фридрихса. [c.23] Будем называть также границу границей класса если а/. х а— -Я—функции класса С (например, или ) и достаточно гладкой границей, если она класса ё илу для достаточно больших значений т или т и а (для данной задачи). [c.24] таким образом, (1.2.8) доказано. [c.25] Это соотношение справедливо для всех функций (Q). [c.26] Так как /(ф) = /, ф для всех ц 3)(й), то пя полученного соотношения следует, что — решение уравнении с частными производными — .U a i / в SD (I2). [c.28] Обратно, если обобщенная функция —решение задачи (1.2.19), то она —решение вариационных у,равнений (1.2.18). [c.30] Отсюда следует, что дy,u = g на Г. [c.30] Теорема 1.2.1. Пусть О.—связное ограниченное открытое подмножество из Р . Тогда определенное в (1.2.23) пространство V—замкнутое подпространство из H (Q). [c.31] Доказательство. Пусть (и ) —последовательность функций в пространстве V, сходящаяся к элементу v П Q). Так как последовательность (1ги г) сходится к (г и в пространстве /. (Г) (в силу неравенств (1.2.3)), то она содержит по.тпоследовательность, сходящуюся почти всюду к 1ги, и, гаким образом, 1ги = 0 почти всюду на Г . Отсюда следует, что функция и принадлежит пространству V. [c.31] В силу связности множества У это постоянная и се след будет той же raMoii постоянной. Равенство этой постоянной нулю следует из того факта, что след обращается в нуль на множестве Гд со строго положительной dv-мерон. [c.32] По теореме Реллиха всякая ограниченная последователь ЮСтъ в пространстве Я (Q) содержит подпоследовательность, сходящуюся в // (Q), и поэтому существует такая последовательность (uj) функций Уг 6 V. сходящаяся в пространстве (il), что lim 11,й=0. [c.32] Таким образом, последовательность (и,) — последовательность Коиш в полном пространстве У, и, следовательно, она сходится по норме Ц-Ц,. Q к элементу f V. [c.32] Из этой теоремы следует, что билинейная форма из (1.2.23) У-эллиптична, так как применение неравенств (1.2.24) и (1.2.25) показывает, что a v, и) ii- для всех v H (Q.). [c.32] Если Г = Г() (или соответственно Г = Г1), то мы имеем формальное решение однородной задачи Дирихле (или соответственно однородной или неоднородной задачи Неймана) для оператора из (1.2.29) (во втором случае для обеспечения существования решения необходимо потребовать выполнения неравенства вида а а 0 почти всюду на 2). [c.33] Так как соотношения (1.2.37) выполняются для всех функций у (й)(0)) , то они могут быть использованы для получения соответствующего уравнения с частными производными. Однако, как было указано в замечании 1.2.1, то же самое может быть сделано с помощью формул Грипа, приче.м последние к то.му же имеют то преимущество, что дают также н краевые условия. [c.35] Вернуться к основной статье