ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о пульсирующем источнике, находящемся в жидкости конечной глубины из "Теория волновых движений жидкости Издание 2 " Простые соображения, основанные на методах теории функций комплексного переменного, позволившие решить задачу об источнике, находящемся в жидкости бесконечной глубины, не дают, однако, возможности решить аналогичную задачу для источника, находящегося под поверхностью жидкости конечной глубины. Для решения такой задачи придется пользоваться другими методами, которые с большим успехом прилагаются к решению пространственных задач. [c.61] Предположим, что источник находится в точке S с координатами (О, —/г). Мы имеем в виду определить периодическое волновое движение, обладающее частотой а. [c.61] Эту формулу необходимо сопроводить важными разъяснениями. [c.63] При таком изменении первоначального пути интегрирования условия (7) остаются выполненными. [c.64] Путь интегрирования может быть непрерывно преобразован в отрезок оси абсцисс от точки О до точки — е, полуокружность 71 с центром в точке ко и радиуса еив бесконечный луч оси абсцисс от точки ко + е до оо. Путь Гз, в свою очередь, может быть преобразован в путь, состоящий из тех же самых частей действительной оси и из полуокружности 72 находящейся в нижней полуплоскости центр этой полуокружности находится в точке и радиус есть е. [c.64] Совершенно такое же предельное значение имеет и последний интеграл формулы (12), но с той лишь разницей, что перед квадратной скобкой будет стоять вместо —ni величина ni, так как дуга 72 лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, два последних интеграла формулы (12) взаимно уничтожаются. [c.65] По самому своему построению этот потенциал удовлетворяет граничным условиям (3) и (4). [c.65] Оценим модуль функции F ( ) на сторонах построенного контура. [c.66] При неограниченном увеличении числа а, т. е. при неограниченном расширении контура в горизонтальном и вертикальном направлениях, правая часть этого неравенства стремится к нулю. [c.68] Части общего возвышения поверхности жидкости, изображаемые бесконечными суммами, быстро спадают на нет по мере удаления от источника колебаний. Следовательно, вдалеке от источника поверхность жидкости покрыта стоячими волнами, изображаемыми первыми слагаемыми формул (23) и (24). [c.69] Таким образом, мы получаем другое решение поставленной задачи, отвечаюш,ее новым условиям о виде поверхности жидкости на большом удалении от источника колебаний. Это решение состоит из двух частей. Первая часть определяет прогрессивные волны, уходящие в обе стороны от источника со скоростью с = оН о — присущей свободным волнам частоты а. Вторая часть дает симметричное относительно начала координат и быстро убывающее по мере удаления от него колебание поверхности. [c.70] Относительно полученного решения задачи следует сделать одно замечание. Представляя решение задачи в виде полусуммы определенных интегралов (11), мы пришли к уравнению поверхности жидкости в виде (14) анализ этого решения показал, что поверхность жидкости вдалеке от источника имеет форму стоячих колебаний. Мы определяли решение задачи, имеющее тот же период, каким обладает дебит пульсирующего источника. В силу этого на полученное решение (14), (23), (24) может быть наложено любое решение, изображающее свободные периодические волны с частотой а. Наложив на поверхность жидкости стоячие колебания частного вида (25), мы нашли новое частное решение задачи с прогрессивными волнами, разбегающимися в обе стороны от источника. Но мы могли бы наложить на волны (14) и другие свободные волны частоты а, 2а, За и т. д. Иными словами, поставленная задача о волнах, возбуждаемых пульсирующим источником, не имеет единственного решения. [c.70] Чтобы получить единственное решение, следует задачу поставить иначе, как задачу о неустановившемся волновом движении, которое создается в начальный момент времени в покоящейся жидкости источником, который в этот момент времени начинает свои периодические пульсации с предписанной частотой. Предельное течение жидкости, которое будет наблюдаться но истечении большого промежутка времени, обладающее уже установившимся периодическим характером и симметрией относительно оси ординат, и следует считать истинным решением задачи о волнах, возникающих от периодически пульсирующего источника. [c.70] Заметим, что таким образом поставленная задача вызывает большие трудности при своем решении. Вместе с тем есть все основания считать, что истинное решение задачи должно даваться формулой (26), полученной из достаточно простых соображений. [c.70] Вернуться к основной статье