ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод тригонометрических рядов. Уравнения пограничного слоя из "Теория пластичности Изд.3 " Изложим теперь два метода, позволяющих получать решение задач в аналитической форме. [c.219] Прежде всего остановимся на новом приеме преобразования уравнений характеристик. [c.219] Заметим, что уравнения (7.31) могут быть также выведены непосредственно из уравнений (7.17). Произведем замену переменных, принимая за независимые переменные Я и ф, а за искомые функции координаты XVL у. Затем перейдем от координат л и г/ к новым координатам X и у. [c.220] Заметим, что эти функции удовлетворяют уравнениям (7.31) при любом значении я. Отсюда легко получить различные частные решения уравнений пластичности. [c.221] Дальнейшее развитие изложенного метода было дано В. Шер-пинским [1631. Он предложил метод интегрирования предыдущих уравнений, который основан на применении гиперболических рядов. [c.221] Другой метод интегрирования уравнений пластического равновесия — приближенный однако он дает возможность получать результаты с достаточной точностью. [c.221] Обычно в задачах теории пластичности интеграл для изменения величины Я известен, поэтому в каждой конкретной задаче могут быть выбраны наиболее подходящие постоянные аир. [c.222] Искомые величины X и могут быть представлены в замкнутом виде. При п 0 величину X следует определять из уравнения (7.37), а У — из уравнений (7.36), при п О величину У удобно находить из уравнения (7.38), а X — из уравнений (7.36). Остановимся подробнее на случаях п = 1. [c.222] Для п = — 1 эти же формулы сохраняют свой вид при замене X на У, а также У на X. [c.222] Найденное здесь приближенное решение уравнений пластичности позволяет получать замкнутые решения плоских задач с достаточной степенью точности. [c.222] Пластическое течение в непосредственной близости от граничной кривой, на которой контактное касательное напряжение равно пределу текучести, т. е. в некотором узком пограничном слое отличается известными особенностями, представляющими существенный интерес. Оно может быть исследовано в криволинейных координатах, соответствующих форме граничной кривой. [c.222] Выберем теперь за координаты х и Хг соответственно длину х дуги граничной кривой ОА и длину у нормали АВ (рис. 118), т. е. положим XI = X и Х2 — у. Так обычно поступают при изучении пограничного слоя в гидромеханике. [c.223] Не следует, конечно, смешивать эти координаты х и у с прямолинейными прямоугольными координатами, которые обычно обозначаются теми же буквами. [c.223] Исследуем узкий пограничный слой, предполагая, что границей является кривая у = О, на которой = к, и покажем, что в этом слое могут быть получены приближенные интегралы основных уравнений. [c.224] Такая граничная кривая г/ = О должна быть огибающей линией скольжения, если она, конечно, не совпадает с одной из них, так как вследствие (7.01) с точностью до числа, кратного п, угол Ф = я/4. [c.224] Отметим, что если границей служит неподвижная стенка, то у (х) = О, 8 (х) = и (х). [c.225] Займемся сначала определением приближенных выражений величин а и ф вблизи стенки, предполагая, что а — а (х) и ф — п /4 являются малыми величинами. [c.225] Перейдем теперь к выводу приближенных выражений компонент скорости ы и у, считая, что и — (х) и у — V х) будут малыми величинами. [c.225] Нетрудно дать оценку порядка малости полученных величин в непосредственной близости от границы. Ясно, что величины о — а (х), ф — л/4 им — и (х) имеют порядок Yy, а величина и — V (х) имеет порядок у. [c.226] Сделаем некоторые выводы из формул (7.55) и (7.56). Обратим внимание, что компонента напряжения Оу = о (х) не зависит от у. [c.226] Вернуться к основной статье