ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Упруго-пластическое равновесие цилиндрической трубы. Сжимаемый материал из "Теория пластичности Изд.3 " Изучение различных задач о пластическом равновесии начнем с рассмотрения простейших напряженных состояний, т. е. таких, когда напряжения и деформации зависят только от одной координаты. Сюда относятся многие практически важные вопросы о равновесии цилиндрических труб и сферических сосудов, о равномерном вращении дисков, в которых при больших нагрузках или окружных скоростях вращения учет пластических деформаций необходим. [c.69] Напряженное и деформированное состояния толстостенной цилиндрической трубы или толстостенного сферического сосуда как раз и принадлежит к простейшим, так как зависит только от одной координаты—расстояния от оси или от центра. Решение этих задач с учетом сжимаемости материала имеет замкнутый вид или приводит к интегрированию обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. [c.69] Исследуем [87] напряженное и деформированное состояния бесконечно длинной толстостенной цилиндрической трубы, поперечное сечение которой ограничено двумя концентрическими окружностями радиусов а и 6, находящейся под действием равномерных внутреннего давления р, внешнего давления q и осевой силы Р, которые считаются функциями времени t. [c.69] При достаточно больших величинах этих давлений и осевой силы в поперечном сечении трубы образуется пластическая зона, ограниченная вследствие осевой симметрии задачи окружностью радиуса с круговое кольцо вне этой окружности остается упругим. Г1ри дальнейшем увеличении давлений и осевой силы упругая кольцевая зона уменьшается и в пределе вырождается во внешнюю окружность — наступает чисто пластическое состояние трубы. [c.69] Упруго-пластическое состояние круговой цилиндрической трубы, когда пластическое круговое кольцо занимает лишь часть поперечного сечения, может быть изучено с учетом сжимаемости материала. Ограничимся для простоты случаем бесконечно длинной трубы, не имеющей удлинений в осевом направлении, когда = 0. [c.71] В качестве частного случая рассмотрим цилиндрическую трубу, подверженную действию только внутреннего давления р, тогда как внешнее давление q = 0. [c.71] Рассмотрим сначала распределение напряжений и смещений в пластической зоне, занимающей кольцо а г с, на основании соотношений Г. Генки (3.05). [c.72] При этом должны выполняться дифференциальные уравнения равновесия (3.01) и условие текучести (3.02), а также дифференциальное уравнение совместности деформаций (3.04). Дифференциальные уравнения могут быть записаны в обыкновенных производных, так как переменная с входит в искомые функции в качестве параметра. [c.72] Полученная система уравнений после исключения о приводит к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно у и со. [c.73] Определение напряженного и деформированного состояний цилиндрической трубы сводится к построению решения дифференциальных уравнений (3.13) и (3.14) при наличии последних условий оно зависит от отношения с/Ь. [c.73] Ниже приведены результаты решения предыдущей задачи для д О, V = 1/4 и 6 = 2а в безразмерных переменных с характерной длиной Ь, характерным напряжением 2к и характерным смещением 2кЫ0, выполненное автором [87]. Оно состоит в численном интегрировании дифференциальных уравнений (3.13) и (3.14) методом конечных разностей. [c.73] Графики безразмерных компонент напряжения и безразмерного радиального смещения в зависимости от безразмерного радиуса г для различных значений безразмерного радиуса с от 0,5 до 1,0 через 0,1 изображены на рис. 23, 24 и 25. Значения безразмерного радиального смещения на внутренней окружности И1 и безразмерного радиального смещения на внешней окружности щ в зависимости от безразмерного радиуса с представлены на рис. 26. [c.74] При ЭТОМ имеют место дифференциальные уравнения равновесия (3.01) и условие текучести (3.02), а также уравнения совместности деформаций (3.04). [c.75] Шкалу времени будем определять радиусом с, а радиальную скорость = V измерять по отношению к этому радиусу с. Все величины будем рассматривать как функции от г и с. [c.75] Полученная система уравнений после исключения а приводит к трем дифференциальным уравнениям в частных производных относительно со, г15 и у. [c.76] Она принадлежит к гиперболическому типу и имеет два семейства действительных характеристик. [c.76] Определение напряженного и деформированного состояний цилиндрической трубы сводится к построению функций со, г) и у в треугольной области а с и а г с плоскости изменения г и с. Значение всех величин на прямой г = с известно из упругого решения. [c.76] Ниже приведены результаты решения предыдущей задачи, когда = О для Ь = 2а и V = 0,3, полученного Ф. Ходжем и Г. Уайтом [143]. Оно состоит в численном интегрировании дифференциальных уравнений (3.17), (3.18) и (3.20) методом конечных разностей. [c.76] Графики безразмерных компонент напряжения и безразмерного радиального смещения в зависимости от безразмерного радиуса г для различных значений безразмерного радиуса с от 0,5 до 1,0 через 0,1 представлены на рис. 27 и 28. [c.77] Вернуться к основной статье