ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нагружение упругопластического тела с фиксированной трещиной из "Механика трещин Изд.2 " Пусть в первоначально ненапряженном упругопластическом теле имеется трещина, которая при нагружении тела раскрывается, но не растет. За исключением особых случаев, когда действие внешних сил у края трещины взаимно компенсируется, область пластичности возникает при сколь угодно малой внешней нагрузке, поскольку предположение об упругости материала приводит к неограниченным напряжениям, а это противоречит условию пластичности. [c.119] Предположим, что внешние силы пропорциональны одному параметру и монотонно растут F= tFQ(Xl, х ). Тогда при достаточно малом значении параметра пластическая область будет малой по сравнению с наименьшим размером, характеризующим трещину (например, по сравнению с ее длиной, диаметром, радиусом кривизны и т. п.), а также по сравнению с расстоянием до границы тела. При этом состояние в малой окрестности края трещины, где возникает пластичность, будет таким же, как и при полубесконечной трещине, и можно считать, что при увеличении параметра t t О пластическая область расширяется без изменения ориентации и формы. Построим плоскость, перпендикулярную краю трещины в данной точке. Предположим, что отрезок на данной плоскости, соединяющий край трещины с произвольной точкой на границе пластической области, целиком лежит в этой области, а напряжения на нем постоянны. Тогда при нагружении тела напряжения в любой его точке, попавшей в пластическую область, не будут изменяться и нигде не будет происходить разгрузки. [c.119] Перейдем к конкретным задачам. [c.121] Антиплоская деформация. Рассмотрим безграничное упругопластическое тело с полубесконечной трещиной, расположенной на отрицательной полуоси х . Полагаем, что берега трещины свободны от внешних напряжений. [c.121] Последний результат полностью совпадает с полученным ранее для упругого тела (2.2.25), что подтверждает сделанный выше вывод о потенциальности работы пластической деформации в указанных условиях. [c.122] Результат более близкий к точному, получается в том случае, если, по-прежнему рассматривая упругую задачу, задать в качестве граничных условий на некотором интервале 1 х 1- - Ь напряжения О23, отвечающие пределу текучести, и определить значение параметра I, так, чтобы при 1л , I / +1 выполнялось неравенство 02з /с (033 0). [c.124] Соответствующее этому решение можно получить, рассматривая трещину на отрезке IX, I / +1 и полагая, что ее берега на участках / и, I / + I загружены напряжениями 0 2= к. При этом напряжения в области 1X1 / +1 можно определить, используя (2.2.14) и учитывая равномерное поле 0 2 = р, 013 = О, отвечающее напряжениям на бесконечности. [c.124] Сравнивая это с представлениями (5.12), видим, что некоторое отличие от точного решения, заметное при малых напряжениях (л78 1,23 л 796 1,01), становится асимптотически несущественным при их увеличении. [c.125] Плоская деформация. Напряжения в пластической области у края трещины при условии т =к определяются комбинацией центрированных и асимптотически равномерных полей. Ввиду отсутствия внешних напряжений на берегах трещины к ним могут примыкать лишь равномерные поля, которые, в свою очередь, могут граничить с центрированными полями на лучах 0 = л/4, 0 = 3 л/4. [c.126] В задаче I (растяжение по нормали к трещине) получаем следующую картину линий скольжения (рис. 4.5, а) равномерные поля при 101 л/4, 0 Зл/4 и центрированные поля между ними. [c.126] В случае сдвига вдоль трещины (задача II) нормальные напряжения на продолжении трещины отсутствуют (они являются нечетными функциями координаты Х2 и непрерывны при Xi /). Поэтому в некотором секторе впереди трещины должно располагаться центрированное поле линий скольжения. К берегам, свободным от внешних напряжений, примыкают равномерные поля, которые могут граничить с центрированным полем при 101 = л/4 или при 101 = Зл/4. Если учесть, что в любом прямоугольном секторе 0, 0 0,-1- л/2, не нарушая условий равновесия и совместности, центрированное поле можно заменить равномерным (при этом знаки у параметра к в центрированных полях при 0 0, и при 0 0, + л/2 должны быть различными), станет очевидной большая общность второго варианта равномерные поля, примыкающие к берегам трещины, располагаются в секторах 101 Зл4. [c.127] Очевидно, в формулах (5.22), (5.23) можно одновременно изменить знаки при параметре к, что будет соответствовать переходу к сдвигу в противоположьом направлении. При этом значение угла 0, сохраняется. [c.128] С ОТЛИЧНЫМ от тождественного нуля тензором т. е. характеризуются более сильной концентрацией, чем в линейно-упругом теле. [c.129] Заметим, что сформулированная задача, по существу, эквивалентна задаче о трещине длиной 2(/ +1), в упругом теле, берега которой на участках / 1л , I / +1 притягиваются силами сцепления интенсивностью 2к, а размеры этих участков таковы, что напряжения в упругом теле ограничены (особенность типа 0)1у[Тв поле напряжений при 1л , I = / +1, возникающая вследствие действия внешних напряжений, растягивающих тело, компенсируется той же особенностью, но с другим знаком, появляющейся из-за действия сил сцепления). В этом случае при росте трещины поток энергии через точки х = (/ +1) равен нулю. [c.129] По существу, мы уже нашли решение сформулированной задачи. Оно дается формулами (2.2.28), (5.14)- (5.18). В последних формулах, однако, как это следует из вывода и условий (5.24), необходимо заменить параметр к на 2к, О23- на 3- на и, кроме того, вновь ввести множитель (и + 1)/4 = 1/(1 + V) в выражении для перемещений, поскольку вместо антиплоской задачи рассматривается задача о плоском напряженном состоянии. [c.130] Таким образом, полученное решение определяет разрыв перемещений на продолжении первоначально заданной трещины (/ 1X1 / + )- трещина оказалась длинее, чем это было принято при постановке задачи. Однако на дополнительно раскрывшиеся берега действуют напряжения ( силы сцепления ). [c.130] Такой результат - идеализация реального состояния, в котором перемещения при 1х, I / непрерывны, но в узких зонах на участках / 1x11 / +1 имеет место значительное пластическое течение, так что перемещение 2 быстро возрастает по модулю [и2 х - 2) = 2( 1 Х2)] при удалении от оси л ,. [c.130] Таким образом, при р/к = р /к = 2 /1-2/л возникают усы - линии скольжения, ориентированные под углами во оси (на которой при 0 = л находится трещина). После этого, т. е. при больших значениях отношения р/к, приведенное выше решение не годится, так как оно в некотором секторе определяет экстремальное значение касательного напряжения т, /с, что запрещено условием пластичности. В эксперименте, действительно, появляются указанные линии скольжения, а при дальнейшем увеличении нагрузки пластическая область расплывается [45]. [c.132] Вернуться к основной статье