ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжева и эйлерова интерпретации линейной теории упругости из "Механика трещин Изд.2 " Как отмечалось в 2.1, линейная теория упругости основана на предположении о малости деформаций и углов поворота. Сейчас мы отбросим это предположение (оно не выполняется в задачах о трещинах) и посмотрим, чему соответствуют соотношения линейной теории при некоторых интерпретациях величин, которыми она оперирует. [c.79] Линейные уравнения равновесия (2.1.2) можно сохранить как точные соотношения, если полагать переменные лагранжевыми и в качестве компонентов напряжений включая заданные в граничных условиях, принять компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (см. 3.1). Кроме уравнений равновесия, в линейную теорию входит закон Гука (2.1.1), (1.13), который теперь устанавливает линейную связь между указанными компонентами и градиентом перемещений (в лагранжевых переменных). При этом напряжения возникают не только вследствие деформации, но и при повороте тела в целом, однако в остальном соответствующая механическая система внутренне непротиворечива и обладает потенциальной энергией, выражающейся при произвольных значениях компонент градиента перемещений формулой (1.12). [c.79] Таким образом, если в задачах, рассмотренных в гл. 2 в рамках линейной теории упругости, внешние напряжения полагать компонентами тензора Пиолы-Кирхгофа, то все уравнения и граничные условия сохраняются неизменными. Следовательно, неизменными сохраняются и решения этих задач, отвечающих теперь геометрически точной модели сплошной идеально упругой среды с указанной выше связью между напряжениями и градиентом перемещений. [c.79] Таким образом, деформация у края трещины не ограничена, а истинные напряжения при приближении к краю трещины по какому-либо направлению стремятся к конечному пределу, зависящему, однако, от направления. [c.80] Здесь 0 - О22 8ц/(м + 1)(в случае равенства трещина превращается в отрезок, ориентированный вдоль оси х . [c.81] Линейной теории упругости можно дать и другую интерпретацию, а именно, можно полагать, что переменные, входящие в закон Гука и в уравнения равновесия, эйлеровы соответственно напряжения -компоненты тензора Коши. [c.81] При удалении от края трещины рассматриваемые решения сближаются и, следовательно, влияние геометрической нелинейности (влияние той области, где деформации и повороты велики) исчезает. [c.82] В жестких материалах, для которых закон Гука справедлив лишь при малых деформациях, физическая нелинейность проявляется в большей окрестности края трещины, чем геометрическая. Поэтому, если материал способен деформироваться за пределами линейной упругости, в первую очередь следует учитывать физическую нелинейность и лишь затем - геометрическую. [c.82] Вернуться к основной статье