ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые сведения из нелинейной теории упругости из "Механика трещин Изд.2 " Рассматриваем два состояния тела исходное, при котором внешние нагрузки и внутренние напряжения отсутствуют, и деформированное. Положение произвольной точки тела в исходном состоянии характеризуется радиус-вектором г, проекции его на прямоугольные оси обозначаем буквами х , Хз, х . Положение той же точки тела в деформированном состоянии определяется радиус-вектором i , проекции последнего на те же оси обозначаем буквами X2, Х . Вектор перемещения и = Н-г, его проекции , к = 1, 2, 3. [c.69] Функцию точки тела, например перемещение, можно выразить либо как функцию координат х , либо как функцию координат Х , Первое представление называется лагранжевым (х - лагранжевы координаты), второе - эйлеровым (Х - эйлеровы координаты). [c.69] Заметим, что вектор = (дг/дх )с/х (по повторяющимся индексам не суммировать ) совпадает с линейным элементом длины 1/к =/к = = 1с х 1, ориентированным вдоль оси х в исходном состоянии, а вектор Ьу. = дЯ1дх )(1х соответствует тому же материальному элементу (т. е. элементу, состоящему из тех же точек тела) после деформации. [c.69] Здесь и = х с х2 хз1 - объем в исходном состоянии У - объем после деформации. [c.70] Перейдем теперь к описанию напряженного состояния тела. Среди различных возможностей мы отметим лишь две - те, которые приводят к линейным уравнениям равновесия. Линейные уравнения равновесия (2.1.2) сохранятся, если в качестве напряжений взять компоненты тензора напряжений (тензор Коши), отвечающие прямоугольным декартовым координатам В этом случае уравнения (2.1.2) выражают условия равновесия прямоугольного параллелепипеда, мысленно вырезанного из деформированного тела. [c.71] Линейные уравнения равновесия можно ввести и в лагранжевых координатах. Возьмем в исходном состоянии объемный элемент тела в виде прямоугольного параллелепипеда, построенного на элементах 1 , и рассмотрим его грань с внешней нормалью В деформированном состоянии на данную грань (которая, вообще говоря, переместилась, повернулась и как-то деформировалась) извне будет действовать сила. Ее проекции, отнесенные к площади грани до деформации, обозначим через 0 . Последние представляют собой компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа (в книге [68. С. 81] указанные компоненты обозначены как 0 ,.. . ). [c.72] Если равновесие тела устойчиво, то при вариации перемещений потенциальная энергия его деформации должна возрастать быстрее (убывать медленнее), чем работа внешних сил. Вследствие этого полная энергия должна возрастать, ее вторая вариация должна быть неотрицательной [68]. [c.74] В рассматриваемом случае, когда в качестве внешних приняты силы, действующие на бесконечно малый выделенный элемент тела со стороны остальной его части, положительность второй вариации полной энергии в формуле (1.16) означает, по определению, устойчивость материала. [c.74] Выведем еще формулу связи между удельной потенциальной энергией и напряжениями, аналогичную по смыслу формуле (1.10), но для эйлеровых переменных. [c.74] Напомним, что здесь первый член представляет собой сумму выписанных выражений по к(к = 1,2, 3). [c.76] Заметим, что соотношения (1.26), (1.27), (1.30), (1.31) между компонентами тензоров Коши и Пиолы-Кирхгофа никак не связаны ни с зависимостью напряжений от координат, ни с потенциальностью работы деформации. Поэтому они справедливы независимо от того, выполняются или нет высказанные ранее предположения, которые потребовались лишь для использования формулы (1.20). [c.78] В заключение отметим, что если в материале отсутствуют внутренние положительные источники энергии, то однозначная зависимость напряжений от градиента перемещений (частным случаем которой является однозначная зависимость от деформации) влечет за собой существование потенциальной энергии. Действительно, предположим противное. Тогда в пространстве компонент градиента перемещений существует некоторый замкнутый путь, на котором энергия получает ненулевое приращение. Меняя направление обхода того же пути на обратное, обнаруживаем такое же по модулю приращение энергии, но другого знака, так как в любой точке контура компоненты сохраняются, а приращения компонент градиента перемещений изменяют знаки [см. формулу (1.9)]. Отсюда следует, что существует такой замкнутый путь, при обходе которого по определенному направлению происходит выделение энергии. Такое тело, если бы оно существовало, могло бы служить основным элементом вечного двигателя. [c.78] Вернуться к основной статье