ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Резольвента, спектр и спектральные семейства из "Неоднородные среды и теория колебаний " Опрепепение 4. 1. Комплексное число X называется собственным значением А, если существует ненулевой элемет хе В, такой, что Лх = Лх. [c.26] Элемент х называется собственным вектором. [c.26] Определение 4. 2. Резольвентным множеством р(Л) оператора А называется множество комплексных чисел 5, длл которых А - [I (часто пишут А -5) имеет ограниченный обратный оператор (Л - у ) , который определен на всем пространстве В и ограничен, т. е. является элементом (В, В). [c.26] Резольвентное множество всегда открыто на комплексной плоскости (хотя, возможно, и пусто) его дополнение называется спектром и обозначается сг(Л). Оператор (Л - 1 ) называется резольвентой и является голоморфной функцией I со значениями в (В, В). [c.26] Очевидно, что e im Л - собственное значение, то Л р (т, е. Л принадлежит спектру). Однако существуют, вообще говоря, точки комплексной плоскости, не являющиеся собственными значениями и не принадлежащие р. Эта ситуация, не возникающая в конечномерных пространствах, будет продемонстрирована на примерах в следующих главах. Приведем некоторые важные свойства самосопряженных операторов. [c.26] что пункт Ь) этого предложения является следствием предложения 3. 2 достаточно рассмотреть оператор А - с1, который также самосопряженный. [c.27] Напомним теперь хорошо известные классические свойства компактных симметричных (самосопряженных) операторов в гильбертовом пространстве Н. [c.27] Запишем теперь (4. 3) в другом виде с целью ввести понятие спектрального семейства. [c.28] Пусть - ортогонадьный проектор Я на (конечномерное) пространство, натянутое на собственные векторы е, соответствующие собственному значению, т. е. [c.28] Легко видеть, что оператор Л коммутирует с оператором ф(Л). [c.30] Отметим, что проектор ( д) соответствует разрывной) функции Хевисайда Н ух - ), т.е. [c.30] Замечание 4.5. Как и в предыдущем примере с компактным оператором, интегралы в (4.11) и (4.13) на самом деле распространяются лишь на часть вещественной оси, где спектральное семейство (Л) отлично от константы. [c.30] Имеет место важное утверждение, обратное к теореме 4.2, известное под названием спектральной теоремы . [c.30] Замечание 4.6.1 В (4Л 5) символ (Ь-0)... означает предал Е(Ь -е) при S - О, и, таким образом, в точках разрьша Е, которые являются собственными значениями А, формула (4.15) дает сумму левостороннего и правостороннего пределов функции . Отметим, что интеграл в правой части (4.15) имеет смысл, так как при ст - О точки X ia содержатся в резольвентном множестве А. [c.31] Замечание 4.7. Из (4.15) очевидно, что если вещественная ось содержит отрезок, принадлежащий резольвентному множеству А, то функция (Л) на нем постоянна. В частности, для оператора А, такого, что Аи, и) с II ыр (с 0), (Х)= О при Х с. Таким образом, интеграл в (4.11) распространяется только на [с, оа). [c.31] В общем случае спектральное семейство Е ) самосопряженного оператора А постоянно на участках вещественной оси, принадлежащих резольвентному множеству, имеет скачки в точках, являющихся собственными значениями, и непрерывно изменяется во всех остальных точках. Если (Л) постоянна на любом промежутке между двумя разрывами (как в примере с компактным оператором), то говорят, что спектр А дискретный. Если (Л) не имеет точек разрьша, то спектр называется непрерывным. В теории рассеяния мы увидим несколько примеров таких спектров. [c.31] Следующая теорема является важным инструментом при доказав тельстве теорем о существовании и единственности. [c.32] Теорема 5.1 (Лаке и Мильграм). [c.32] Вернуться к основной статье