ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Предисловие редактора перевода из "Неоднородные среды и теория колебаний " Книга известного ученого, профессора Парижского университета Энрико Санчес-Пален(3 и, посвящена асимптотическощ анализу краевых задач для уравнений с частными производными, содержащих малый параметр, и их приложениям. Такие задачи часто встречаются в самых разнообразных вопросах математики, механики, физики. [c.5] Основной объем книги занимает вопрос об усреднении дифференциальных операторов и связанные с ним физические задачи, а также вопрос о сингулярном возмущении дифференциальных операторов, их спектров, вопросы дифракции и теории рассеяния. Поэтому в соответствии с названием книги она по содержанию разделена на две части теория усреднения дифференциальных операторов и теория колебаний. Формально книга состоит из четырех частей. [c.5] Больщое место в книге уделено изучеиию конкретных физических задач. Их исследование проведено с использованием самых современных средств математики. Так как книга предназначена для щирокого круга читателей - математиков, механиков, физиков, инженеров, то часть I книги носит вспомогательный характер и посвящена.изложению в сжатом виде важнейших фактов функционального анализа, теории обобщенных функций и пространств Соболева, теории полугрупп а также теории обобщенных решений краевых задач для уравнений с частными производными. Эти факты существенно используются в дальнейшем. Указаны руководства, по которым с этими разделами математики можно познакомиться более детально. [c.5] Часть II книги названа Метод усреднения в физике композитных материале . За последние 10-15 лет под влиянием задач математической физики возникла новая область в теории уравнений с частными производными - теория усреднения и С-сходимости дифференциальных операторов. [c.5] Теория усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений в связи с задачами механики была разработана Н.Н. Боголюбовым и его учениками (см. гл. XIY). Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными, было начато в 70-е годы. Отметим, что отдельные задачи усреднения уравнений с частными производными рассматривались еше в прошлом веке классиками естествознания Пуассоном, Максвеллом, Рэлеем. [c.6] Для физических задач представляет интерес получить асимптотическое разложение решения краевой задачи для уравнения с частными производными с быстро осциллирующими периодическими коэффициеита-ми вида а (ж/е) по степеням малого пг аметра. Для этой цели, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть испол зован метод двухмасштабных разложений. Развитие этого метода для уравнений с частными производными дано в работах Н.С. Бахвалова. [c.7] К вопросу усреднения дифференциальных операторов близко npii-мыкает вопрос поведения решений краевых задач для уравнений с частными производными в перфорированных областях или, как еще говорят, в областях с мелкозернистой границей. Этот вопрос впервые был подвергнут детальному исследованию в бО-ые годы в работах В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова (см. [33 ] ). В настоящее время в связи с важными приложениями в физике и технике этому вопросу посвящена обширная литература. Некоторые задачи такого рода рассмотрены также в на-стоящей книге. [c.7] Здесь и далее звездочкой выделены ссылки нв работы, добавленные редактором леревода список этих работ помещен в конце книги. [c.7] Часть II КНИГИ представляет большой интерес для математиков, так как в ней рассматриваются физические вопросы, приводящие к задачам усреднения, и тем самым она расширяет круг нерешенных математических проблем. Она также интересна для физиков и инженеров, так как в ней приведены примеры решения важных и трудных конкретных физических проблем методами современной математики. [c.8] Часть Ш книги посвящена сингулярным возмущениям краевых задач для уравнений с частными производными. Здесь рассмотрены уравнения с малым параметром при старших производных, сингулярные возмущения области и краевых условий, вопросы поведения спектра таких задач. Для изучения нестационарных задач в книге систематически используется теорема Троттера - Като, сводящая нестацио-нЕфную задачу к исследованию стационарных задач. Рассматриваются также задачи, в которых коэффициенты уравнения сильно меняются в какой-либо узкой области, проводится исследование конкретных физических задач такого рода. [c.8] В ОСНОВНОМ, ЧИСТО математическими работами. Некоторые из этих бот указаны нам автором. [c.9] Вернуться к основной статье