ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нарадокс, связанный с влиянием из "Вычислительная гидродинамика " Общая идея постановки граничных условий, отвечающих бесконечности на наиболее удаленной границе разностной сетки, была предложена Ричардсоном [1910]. Кавагути [1965], Фридман [1970], а также Ли и Фын [1970] в выходном сечении брали, например, профиль Пуазейля. Заметим, что асимптотическое решение, используемое в качестве граничного условия, должно рассматриваться в переменных задачи-, например, если конечно-разностные уравнения записаны в переменных г]) и то и решение Пуазейля должно быть записано для ф и Если и задается по имеющемуся решению дифференциальных уравнений, а ф находится при помощи квадратур, то при этом возникает ошибка в результатах, обусловленная дискретизацией (аналогичная ситуация возникает и в случае постановки условий на входной границе потока см. предыдущий раздел). Для течений более общего вида, например таких, как асимптотическое течение в пограничном слое, решение дифференциальных уравнений будет отличаться от асимптотического конечно-разностного решения по всем переменным. На выходной границе предпочтительнее брать конечно-разностное решение асимптотического обыкновенного дифференциального уравнения (Кавагути [1965]). [c.237] Фромм [1963, 1964], а также Гоэйн и Притчетт [1970] ставили периодические условия па входе и на выходе, единственным достоинством которых была простота математической постановки. Эти условия не соответствуют какой-либо реальной физической ситуации (за исключением задачи о свободной однородной турбулентности) и оказались одним из источников неустойчивости, с которой столкнулся Фромм при больших значениях Re. [c.238] Опыт расчетов Аллена [1968] и Чена [1970] по решению уравнения Бюргерса подтвердил интуитивное предположение о том, что градиентное условие (3.476 6) для приводит к меньшим ошибкам па границе, чем задание функции как в условии (3.4776) ). [c.239] Эти условия имеют второй порядок точности, если полагать д /дх = 0 при /— /г, а д /дх == О при /—1. Экстраполяция для ф/, / выполняется здесь после каждой итерации по методу Либмана при решении уравнения Пуассона. В более поздней работе Фромм [1967] ставил условие (3.4786), что дало ему возможность существенно увеличить интервал исследуемых значений Ке по сравнению с предшествующей работой (Фромм [1963]), где задавались периодические граничные условия. Фромм также опробовал линейную экстраполяцию для постановки 5 на выходной границе и обнаружил, что такое условие обладает дестабилизирующим свойством в случае явных схем для уравнения переноса вихря. Автор настоящей монографии, применяя явные схемы, получил аналогичный результат. [c.239] Первое условие означает, что у — 0 с учетом этого равенства и при предположении стационарности течения второе условие означает, что дР/ду = О, т. е. отвечает обычному условию, принятому в приближении пограничного слоя ). [c.240] Если условия на границах В1 и ВЗ (рис. 3.22) таковы, что дают достаточные граничные условия для уравнения (3.481) вдоль В 6, то экстраполяционная процедура может быть достаточной. В частности, если ф = О вдоль В 1 и ф или д /ду фиксировано вдоль ВЗ (как было рассмотрено ранее), то экстраполяции вдоль границы В 6 будет достаточно, но если условие на В 3 также получается с помощью экстраполяции, то экстраполяции вдоль В 6 недостаточно. Постановка же условия = О иа ВЗ либо противоречит (3.481), если 5(ВЗ)= 0, либо просто совпадает с (3.481), если 5(ВЗ)=0. Таким образом, достаточность условия д /ду = О на границе, расположенной вниз по потоку, зависит от условий, заданных на смежных границах, причем существенную роль играет размерность задачи. [c.241] Отметим, что рещение задачи методом последовательной верхней релаксации с экстраполяционными условиями как на В 3, так и на В б могло бы сходиться в пределах некоторой заданной точности значит, дискретизация могла бы, вероятно, привести к единственному решению, т. е. к решению, не зависящему от начального приближения. Но полученное таким образом единственное решение зависит от Ах и Аг/, и при Ах- 0 и Аг/— -0 задача становится неопределенной. [c.241] Обыкновенное дифференциальное уравнение (3.482) можно решать более простым одномерным методом, описанным в разд. 3.2.8, вместо более общего метода прогонки (приложение А). [c.242] Наличие дополнительного временного слоя п—1 в уравнении (3.484) отнюдь не означает, что необходимо хранить в памяти полную матрицу для 5 . Поскольку это уравнение используется лишь на границе, необходимо помнить только вектор V (/) = 6%/Ьх I Здесь производная вычисляется в конце каждого расчета нового значения вихря перед получением окончательных значений, а затем осуществляется переход к новому временному слою. [c.243] Эти способы были опробованы автором настоящей монографии, н при их помощи удалось добиться плавного изменения у выходной границы до тех пор, пока не появлялся срыв вихрей. Когда появляется срыв вихрей, составляющая скорости и может стать отрицательной при г = /, поэтому приведенные выше разностные формулы станут формулами с разностями по потоку, что приводит к неустойчивости. В этом случае для устойчивости следует ставить условие (3.478) Томана и Шевчика [1966]. Поскольку срыв вихрей происходит только при больших Не, схемы с разностями против потока в этом случае дадут несущественное улучшение. [c.244] Устойчивость схемы в целом теперь мол сет определяться ограничением по числу Куранта, соответствующему применению разностей против потока, на границе В 6. Отметим, папример, что в комбинации со схемой чехарда , как это имеет место в уравненни (3.485), величина эффективного шага по времени для конвективного члена и будет 2А/. Критерий устойчивости в одномерном случае будет Сл = иМ/Ах /г- Однако, как показали Бао и Догерти [1969], разности против потока на границе В 6 можно применять в комбинации с неявной схемой метода чередующихся направлений без каких-либо ограничений иа устойчивость. Другие комбинации должны быть проверены индивидуально. [c.244] Если й я V также находятся с помощью интерполяции, то вычисления могут оказаться нечистыми в таком случае лучще всего вычисления проводить с помощью итераций. [c.246] Шапиро и О Брайен [1970] сравнили результаты расчетов двумерной метеорологической задачи при применении этого способа с результатами, полученными в достаточно большой расчетной области при фиксированных значениях на выходной границе (задача Дирихле). Хотя можно было ожидать, что последний способ даст более точные результаты, в действительности этого не произошло на достаточно больших временах при расчете 1 возникали пилообразные осцилляции (см. также Варапаев [1969]). Такие осцилляции в решении представляют собой обычное явление, которое рассматривается в следующем разделе. [c.247] С пилообразными осцилляциями решения в узловых точках пространственной сетки можно встретиться во многих работах. При расчетах сверхзвукового потока при помощи схем с симметричными разностями для аппроксимации пространственных производных осцилляции обычно возникают за ударной волной (см. разд. 5.3). Но пилообразные осцилляции возникают также и прп расчетах течений несжимаемой жидкости до больших значений времени. Многие авторы объясняют такое поведение нелинейностью или линейной неустойчивостью расчета нестационарного течения. (Осцилляции могут даже предотвращать сходимость итерационного процесса.) Здесь будет показано, что действительный источник этого явления гораздо проще. [c.247] Решение, представленное на рис. 3.26, а, получено при а/ц = 1, что соответствует Ке= 1, и является гладким. Решение, приведенное на рис. 3.26,6, получено при а/и 0.01, что соответствует Ре = 100, образует характерные пилообразные осцилляции. Подчеркнем, что изображенное на рис. 3.26 решение представляет собой точное стационарное решение линейного конечно-разностного уравнения (3.491) с постоянными коэффициентами. Пилообразные осцилляции в данном случае вызваны не неустойчивостью итерационного процесса, не нелинейностью и не переменностью коэффициентов они просто являются решением конечно-разностного уравнения (3.491). [c.248] Когда это условие нарушается (при Re 2), член 81 /8х остается по-прежнему ограниченным, и для достижения баланса в уравнении (3.492) член 6%/8х будет увеличиваться за счет уменьшения t/-i вплоть до отрицательных значений, как показано на рис. 3.27,6. Заметим, что это решение конечно-разностного уравнения приводит к нарушению условий монотонности и ограниченности решения исходного дифференциального уравнения, приводя тем самым к ошибкам, связанным со свойствами схемы (см. разд. 3.1.23). Когда 0, величина b%/bx i-2 несколько уменьшается и этот эффект передается вперед, вызывая пилообразные осцилляции. [c.251] Появление пилообразных осцилляций в решении дискретного уравнения аналогично особенности у дифференциального уравнения последняя возникает при Re - оо, а осцилляции появляются при Re 2. Копечно-разностное уравнение имеет особенность при Re = 2 в том смысле, что, когда параметр а становится достаточно малым (таким, что Re 2), конечноразностное уравнение утрачивает свойства монотонности и ограниченности, присушие исходному дифференциальному уравнению. [c.251] Для нелинейного дифференциального уравнения Бюргерса такое явление может возникать в областях, удаленных от границ. С ростом Re частоты конечно-разностного решения увеличиваются до частоты Найквиста, отвечающей минимально возможной длине волны Л = 2Лх. Для уравнения Бюргерса это наступает именно при Re = 2. При больших Re структуру рещения нельзя получить на данной сетке хотя бы качественно (см. ошибки, обусловленные неразличимостью, разд. 3.1.13). [c.251] Помимо уменьшения сеточного числа Рейнольдса за счет уменьшения Ах с том, чтобы выполнялось условие R 2, в случае уравнения с постоянными коэффициентами имеется два пути устранения ошибок, связанных с пилообразными осцилляциями. Они указаны в следующих упражнениях. [c.251] Вернуться к основной статье