ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод расчета распространения из "Вычислительная гидродинамика " Возьмем некоторое произвольное значение г (где штрих означает предварительное значение), скажем 11 2 = 1151 = а. Это значение I] отличается от истинного значения на единичную ошибку е, т. е. [c.194] Эти предварительные значения отличаются от истинных на величину ошибки е,, т. е. [c.195] Такой подход будет использован в двумерной задаче. [c.195] Расчетная область эталонной двумерной задачи представлена на рис. 3.17. Пусть сначала на всех границах заданы условия Дирихле. По аналогии с одномерным случаем, когда мы выбирали одно-единственное предварительное значение фз, теперь выберем вектор предварительных значений 115 где / пробегает все целочисленные значения от / = 2 до г = /— 1. Этот вектор 115 2, определенный на точках, расположенных непосредственно над границей В 1 на рис. 3.17, отличается от истинного значения ф,-, 2 на вектор единичной ошибки 2, т. е. [c.196] Такой метод в приложениях, очевидно, эффективнее прямого метода исключения Гаусса. Здесь исходная задача решения системы из (/ — 2)Х(/—2) уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей сводится к решению 1 — 2 уравнений ) для определения обратной матрицы С- и при этом дополнительно проделывается работа, эквивалентная I итерациям по методу Ричардсона два обхода расчетных точек для определения г] и г з из уравнения (3.404) и / — 2 обхода для определения е из уравнения (3.405). Поскольку уравнение (3.405), описывающее распространение ошибки, не зависит от неоднородного члена Zi,i и поскольку граничные условия (3.406) для этого уравнения не зависят от граничных значений ф, а только от типа граничных условий, являющихся в данном случае условиями Дирихле, расчет е при помощи уравнений (3.405) и (3.406) и обращение матрицы С необходимо проводить только один раз для целого семейства решений, определяемых на одной и той же сетке и при одном и том же типе граничных условий, но с различными граничными значениями ф и различными Именно так обстоит дело в гидродинамических задачах. [c.198] Легко добиться того, чтобы рассмотренный метод сходился примерно в 10 ч-100 раз (в зависимости от выбранного шага сетки и выбранного критерия сходимости) быстрее других итерационных методов. Но этот метод обладает тем недостатком, что требует существенно большего объема памяти и по простоте не может конкурировать с методом последовательной верхней релаксации. Еще важнее то обстоятельство, что из-за свойств распространения ошибки метод применим только в областях ограниченных размеров. [c.198] При достаточно больших J матрица С, очевидно, может стать плохо обусловленной, а это, как интуитивно ясно, приводит к тому, что трудно отличить ошибку в точке (i, 2) от ошибок в точках (( 1,2), и может послужить источником любой ошибки при / = J. Но, как правило, применение метода на практике ограничивается не этим, а следующим обстоятельством. В отличие от линейного но / рекуррентного соотношения (3.393) для распространения ошибки в одномерном случае в двумерном случае уравнение (3.405) дает величину Fu i означает среднюю по / точку сетки), которая с ростом / увеличивается экспоненциально. Для больших значений J это означает, что применимость метода для нахождения ошибки при / = / будет ограничена машинными ошибками округления. [c.199] Такое поведение накладывает абсолютное ограничение на разрешающую способность метода даже при условии, что обращение матрицы С может быть выполнено с идеальной точностью. Однако практически используются стандартные программы для метода исключения Гаусса, при помощи которых можно проводить расчеты с удвоенной точностью, уменьшая эту ошибку до пренебрежимо малой величины. Кроме того, детали конкретной задачи (т. е. значения i 5 и ) также не оказывают существенного влияния на расиространение ошибки при условии, что граничные значения для ф представлены в разумном масштабе ). Практически оценить ограничения для метода расчета распространения вектора ошибки можно путем численного решения уравнений (3.405) и (3.406) с единичными ошибками при / == J. [c.199] При р = 2 и У/Ах = 10 (при этом по-прежнему / = 21) имеем Р ж 7.5. В этом случае разность 5 — Р = 14.5 — 7.5 = 7, и поэтому можно ожидать, что разрешаемые ошибки в величинах 1 г, у будут иметь порядок 10 а это обычно уже приемлемо. [c.201] В методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках ошибки сушественно меньше. Невязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10 в величине ф на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка для г в неявной схеме метода чередующихся направлений и в методе последовательной верхней релаксации. [c.202] Одним из преимуществ метода расчета распространения вектора ошибки по сравнению с другими прямыми методами является простота его приспособления к случаям областей со сложной границей и случаям различных комбинированных граничных условий. Единственный момент, требующий разъяснения в случае применения метода для областей сложной формы, заключается в определении векторов начальной и конечной ошибки Е и Р. Два соответствующих примера приведены иа рис. 3.19. Используемая здесь индексация и не является единственной. [c.202] Для каждого отдельного применения метода расчета распространения вектора ошибки надо соответственно определять его характеристики. Однако, поскольку наличие границ, находящихся на расстоянии более чем четыре или пять ячеек от какого-либо внутреннего пути продвижения расчета, оказывает сравнительно слабое благоприятное воздействие на расчет величины е, можно ожидать, что данный метод будет чаще всего ограничен величиной Р на рис. 3.18, вычисленной по наибольшему пути продвижения расчета в рассматриваемой задаче. [c.202] Заметим также, что уравнения (3.404) и (3.405) можно использовать для рассмотрения неполных ячеек окола нерегулярных границ (см. разд. 6.1, а также книгу Сальвадори и Барона [1961]). [c.202] Граничное условие типа Неймана приводит к условию нулевого градиента для е. [c.202] Упражнение. Показать, что любое граничное условие типа Неймана для функции ф, т. е. Зф/йп = с, где с не обязательно равно нулю, в рассмотренном методе расчета распространения вектора ошибки приводит к условию де1дп = 0. [c.202] Аналогично, любое условие типа Неймана на границе В 4 приводит к условию в1, / = 61-1, /. [c.203] Если условие типа Неймана ставится на границах В 3 или В 4, то оно оказывает несущественное влияние на характеристики ошибки, если же это условие ставится на границе В1, то оно оказывает незначительное благоприятное влияние, а будучи поставленным на границе В 2, оно приводит к серьезным неблагоприятным эффектам. В случае нерегулярной сетки численная реализация условий Роббина тоже проводится просто. Также легко можно решать трех- и /г-мерные задачи, но обращение матрицы С может оказаться затруднительным. Хотя переход от одного измерения к двум сильно ухудшает характеристики ошибки, последующее увеличение размерности задачи приводит к быстро уменьшающемуся неблагоприятному влиянию. [c.203] Вернуться к основной статье