ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пеявные схемы метода из "Вычислительная гидродинамика " Неявная формулировка часто используется в неявных схемах чередующихся направлений, основанных на идее дробных шагов по времени (разд. 3.1.13) и приводящих к трехдиагональным матрицам даже в случае многомерных задач. Такие схемы будут обсуждаться в дальнейшем, но сначала рассмотрим некоторые многошаговые явные схемы. [c.134] Ранее описанные схемы для одномерного линейного модельного уравнения являются одношаговыми , поскольку в них для получения значений на новом временном слое требуется только один вычислительный шаг ). Рассмотрим теперь несколько многошаговых схем. [c.134] Здесь ощибка аппроксимации имеет порядок 0 А1,Ах ). [c.135] Условие устойчивости (G 1 будет выполняться при 1а 1, откуда С 1. Таким образом, первое итерационное приближение для полностью неявной схемы приводит к обычному условию устойчивости для явных схем, а не к абсолютной устойчивости неявной схемы. [c.136] Для двухшаговой схемы (3.286) получается то же условие устойчивости, что и для одношаговой схемы (3.290), но с вычислительной точки зрения эти схемы не эквивалентны. Двухшаговую схему можно применять в соседних с границей узловых точках, а для одношаговой схемы требуются нефизическпе значения в узлах, расположенных за границей расчетной области. В случае применения этой схемы к течениям сжимаемой жидкости (Браиловская [1965]) к различиям приводит и нелинейность. [c.136] В противоположность схемной вязкости в схеме с разностями против потока (3.179) вязкость в схеме Мацуно для нестационарного решения убывает с уменьшением М. Для стационарного решения коэффициент схемной вязкости равеи нулю. В этом легко убедиться, замечая, что при достижении стационарного решения результаты, полученные на каждом из обоих шагов схемы, будут совпадать (Аллен [1968], Аллен и Чен [1970]), так как обе формулы идентичны. (Все прочие двухшаговые схемы не обладают этим желаемым свойством.) Использование в этом случае центральных разностей для производной б /бх приводит к равенству ае = 0. [c.137] Первый шаг есть не что иное, как предиктор по схеме чехарда , а второй — схема (3.285). Данная схема обладает некоторыми интересными характеристиками (см. задачу 3.16). Подобно схеме чехарда , она имеет ошибку второго порядка Е 0 A.f,Ax ) исследование устойчивости методом фон Неймана показывает, что = 1 при С 1, и схема имеет нулевую схемную вязкость как в нестационарном, так и в стационарном случаях. Она также обладает недостатками, присущими схеме чехарда , т. е. требует дополнительных условий на выходной границе потока и дополнительных начальных условий и фурье-компонента с длиной волны Л = 2Ах стационарна. В отличие от схемы чехарда она обладает еще и тем недостатком, что не дает точного решения модельного уравнения при С= 1 однако значительным преимуществом рассматриваемой схемы является отсутствие неустойчивости, связанной с расчленением решения по временньш шагам. [c.139] Дьяконовым, Г. И. Марчуком, А. А. Самарским, В. К. Саульевым. Одно из первых применений метода расщепления к многомерной гидродинамике было дано К. А. Багриновским и С. К. Годуновым в статье, опубликованной в ДАН СССР, 1957, т. 115, З. — Прим. ред. [c.140] С и и У найти первое приближение а затем из уравнения определить первое приближение ы + и На второй итерации конвективные члены в уравнении (3.308) можно брать как средние и = /2 (и + и ) и т. п. Итерации можно закончить на этом или продолжать до (й-)- 1)-й итерации, т. е. до тех пор, пока не будет выполняться условие (ы + ) = = (г + ) в любом случае ошибка будет иметь порядок 0(А/ ), как и в схеме (3.285) см. разд. 3.1.15. При одной итерации объем вычислений на одном временном шаге удваивается, и требуется дополнительная память для хранения 11 +. [c.142] В этих схемах итерации, необходимые для достижения второго порядка точности и для нелинейных членов, не обязательно связаны с дополнительной работой, так как они могут потребоваться и при численной реализации граничных условий. Одним из недостатков неявных схем метода чередующихся направлений, так же как и других неявных схем, является необходимость иметь граничные значения для Вдоль некоторых границ можно задать условия для +, допускающие неявное решение. Но на стенке с условием прилипания значения 1,0, на этой границе зависят от значений г]5 во внутренних точках (такие возможные зависимости будут обсуждаться в разд. 3.3.2). Поэтому для определения значения на стенке требуется неявное решение уравнения Таким образом, полная неявная задача при наличии граничного условия прилипания практически не поддается расчету даже при линеаризации скоростей по значениям м и у . [c.142] И В этом случае значения на стенке будут отставать на А/ от значений во внутренних точках. Такая схема использовалась в работе Уилкса и Черчилла [1966]. При малых А/ эта аппроксимация достаточно точна, но ведь основное преимущество неявных схем метода чередующихся направлений — возможность счета с большими шагами М. При больших А/ такая схема может оказаться не только не точной, но и дестабилизирующей. Решение при помощи итераций, как и при нахождении решения г з + , очевидно, оказывается предпочтительнее. [c.143] Хотя преимущества неявных схем метода чередующихся направлений над явными схемами практически не таковы, как это следует из анализа при помощи метода фон Неймана, опыт многих исследователей показывает, что неявные схемы метода чередующихся направлений допускают большие по величине размеры шагов по времени, ускоряют расчет в целом (вдвое и более) и, кроме того, дают возможность получить второй порядок точности по времени. Можно быть уверенным в том, что для простых прямоугольных областей такие схемы будут широко применяться и в дальнейшем. В случае же областей неправильной формы программирование для этих схем может усложниться и более практичными могут оказаться явные схемы. [c.144] Вернуться к основной статье