ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ошибки, обусловленные схемной искусственной вязкостью Свойство транспортивности из "Вычислительная гидродинамика " В схеме чехарда (и во всех схемах второго порядка точности с центральными разностями по пространственным переменным) имеют место и дополнительные ошибки. Рассмотрим ко-нечно-разностную схему, у которой наибольшее значение i равно IL. Применение схемы чехарда (3.145) для вычисления потребовало бы значения величины в точке, которая находится вне расчетной сетки. Поэтому в точке 1L нельзя провести расчеты и для определения требуется задать численное граничное условие в IL. [c.95] Подобные условия будут рассматриваться в разд. 3.3, а здесь мы лишь укажем, что такое требование аналогично необходимости задания двух наборов начальных условий и ведет к переопределенности задачи для дифференциального уравнения. Заметим также, что обычно используе.мое условие равенства нулю градиента для задания условия на входной границе потока (см. разд. 3.3.7), когда полагают — приводит к дзижению стационарной (в прочих отношениях) фурье-компоненты с длиной волны Л == 2Ax, но это движение не имеет ничего общего с тем, что происходит при конвекции. С ростом времени эта фурье-компонента с Л = 2Ах затухает по сетке справа (от выходной границы потока) налево, тогда как настоящая конвекция развивается слева направо. [c.95] Такое неправильное требование, состоящее в задании дополнительного условия на выходной границе потока, является следствием ошибки еще одного вида, а именно обусловленной нарушением свойства транспортивности, которая будет обсуждаться ниже. [c.95] Упражнение. При помощи вычислений вручную и геометрических соображений проверить, что схема чехарда дает правильное поведение решения на левой границе (входная граница потока). Задав начальное условие, включающее только компоненту с А, = 2Ах, и зафиксировав граничное условие на входной границе потока для всех моментов времени, начать расчеты по схеме чехарда при С = 1 при точном решении на втором временном слое. Показать, что при С = 1 начальный профиль правильно распространяется по сетке. [c.95] Следует также заметить, что название чехарда применяется для многих схем, отличающихся видом аппроксимации пространственных производных, но все они являются трехслойными и используют центральные разности по времени, как и только что рассмотренная схема. [c.95] При помощи метода фон Неймана для анализа устойчивости можно убедиться в том, что единственным условием устойчивости для уравнения (3.167) является условие С 1, как в случае невязкой жидкости. В многомерном случае нри больших Ке возможно ослабление этого условия более чем на 50% (см. Шуман [1975]). [c.97] Устойчивость схемы Дюфорта — Франкела можно считать обусловленной наличием гиперболического члена в уравнении дифференциального приближения (Дюфорт и Франкел [1953]). Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.167) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (т. е. при Ах О, А О стремится к модельному уравнению (2.18), содержащему конвективный и диффузионный члены) только в том случае, когда Ах- О, А/- 0 так, что А /Ах- 0. Если же Ах О, Л - 0, но А1/Ахф , то конечно-разностное уравнение (3.167) будет аппроксимировать уравнение (3.168) гиперболического типа. [c.97] Тейлор [1970] показал, что граничные условия типа Неймана (задание величины градиента ) могут привести к неустойчивости численного решения уравнения диффузии по схеме Дюфорта — Франкела, если представление разностей в граничных точках плохо согласовано со схемой расчета во внутренних точках. По-видимому, такое согласование не столь важно для течений с большими Ке, но сушественно для течений с малыми Не и в задачах диффузии. Аллен [1968] столкнулся с некоторыми трудностями решения у границы при применении этой схемы к уравнениям, описывающим течения сжимаемой жидкости. [c.98] Данная схема часто применяется в литературе под различными названиями и с разными объяснениями. Метеорологам давно известно стабилизирующее влияние разностей против потока (Лилли [1965], Вазов и Форсайт [1960]) или наветренных (Франкел [1956]) разностей ), и они используют их для решения задач о течении несжимаемой жидкости и о течении в приближении Буссинеска. Математики относят эту схему к разностным уравнениям с положительными коэффициентами (Вазов и Форсайт [1960], Моцкин и Вазов [1953 ) употребляется также термин несимметричные разности (Ломекс с соавторами [1970]). [c.101] С учетом этого при переводе принято название схема с разностями против потока . — Прим. ред. [c.101] И указано (в этом к Рихтмайеру присоединились Стоун и Брайен 1963]), что она восходит к статье Куранта, Изаксона и Риса 1952]. В этой статье была впервые продемонстрирована тесная связь данной схемы с теорией характеристик, а сама схема применена для плоских течений невязкой сжимаемой жидкости. [c.102] При этом ае не является функцией от At и стационарное решение не зависит от At. [c.103] Противоречие между выражениями (3.179) и (3.180) для ае можно объяснить, вспомнив, что для модельного уравнения, содержащего только конвективный член, единственным возможным стационарным решением при и = onst является тривиальное решение — 1,1 = onst. В этом случае 6%/дх = д%/дх = О, что допускает произвольный вид коэффициента ае. [c.103] Автор настоящей книги (см. приложение Б) показал, что результат (3.185) действительно соответствует стационарным рещениям. Для нестационарных рещений формулы (3.184) показывают, что влияние схемной вязкости будет минимальным, если Сх и Су по возможности близки к единице. Однако на практике невозможно добиться, чтобы эти две величины одновременно были близки к единице во всех частях области течения, поэтому схемная вязкость обязательно будет входить в расчеты. [c.104] Заметим также, что коэффициенты схемной вязкости зависят от составляющих скорости ы и у, которые рассматриваются относительно неподвижной эйлеровой системы координат. Это приводит к нарущению принципа инвариантности Галилея, т. е. преобразование, связанное с обращением скорости невозмущенного потока и допустимое для дифференциальных уравнений, непримени.мо к этим конечно-разностным уравнениям, за исключением случая, когда Ах- 0, Аг/0. [c.104] Термины искусственная вязкость и схема первого порядка часто используются как синонимы, но в действительности это не так. Например, можно просто добавить в схему второго порядка дополнительный член авхд /дх с явной искусственной вязкостью авх Ах . Такая схема с явной искусственной вязкостью имеет второй порядок на ней, в частности, основывается метод фон Неймана — Рихтмайера для расчета ударных волн (см. разд. 5.4.1). [c.104] Обсудим некоторые соображения относительно того, что точное рещение невозможно до тех пор, пока не выполнено условие а.е С а. Из соотношений (3.185), полученных при исследовании стационарного уравнения, видно, что для выполнения этого условия должно быть иАх/а 2 и иАу/а С 2, т. е. сеточные числа Рейнольдса по различным направлениям должны быть много меньще 2. Эти условия являются требованием формальной точности, но на практике положение оказывается не столь уж плохим. Рассмотрим некоторую область, где применимо приближение пограничного слоя (см. Шлихтинг [1968]). Тогда производная д%/дх будет мала и вклад члена с коэффициентом а,аех в уравнение (3.183) будет мал. Кроме того, величина V также мала, поэтому аеу в (3.184) и (3.185) может быть меньше, чем а (см. задачу 3.9). [c.104] Вернуться к основной статье