ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры представлений из "Применение теории групп в квантовой механике Изд.4 " Таким образом, при переходе к новому базису матрицы представления испытывают преобразование подобия. Представление матрицами называется эквивалентным по отношению к представлению матрицами В. [c.25] Если матрицы представления все унитарные, то представление называют унитарными. [c.25] Если группа матриц В(д,) изоморфна группе С, то говорят, что матрицы дают точное представление группы С. [c.25] Среди представлений группы всегда имеется тривиальное тождественное представление, в котором каждому элементу группы сопоставляется единица. Если элементами группы являются линейные преобразования, то матрицы этих преобразований сами дают представление, изоморфное группе. Эти два представления соответствуют двум тривиальным инвариантным подгруппам, которые упоминались в предыдущей главе. [c.25] Мы видим, что последовательное применение сначала преобразования Су и затем преобразования Сг эквивалентно применению преобразования С2С1. Поэтому можно утвержцать, что преобразования (3.13) коэффициентов квадратичной формы образуют представление группы С. [c.26] Важность изучения представлений групп для данной задачи заключается в том, что каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шрёдингера. [c.28] Перейдем теперь к изучению свойств представлений конечных групп. [c.28] Докажем, что всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному. [c.28] Отсюда следует, что матрицы LD g t)L gk С ) действительно унитарные. [c.30] Если же в пространстве R нельзя выделить инвариантное подпространство, то представление называется неприводимым. [c.31] Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной. [c.32] Таким образом, теорема доказана. [c.33] Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы имеют квазидиагональный вид, то всегда существует матрица, отличная от кратной единичной, которая коммутирует со всеми матрицами этого представления. Легко проверить, что в качестве такой матрицы можно взять диагональную матрицу, у которой диагональные элементы, соответствующие различным блокам матрицы представления, не равны друг другу. [c.33] Отсюда можно сделать заключение, что если единственной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами некоторого представления группы, является матрица, кратная единичной, то такое представление неприводимо. [c.33] Здесь Е 2 — единичная матрица порядка. [c.34] Рассмотрим теперь три возможных случая 1) щ = пз. 2) пз щ и 3) П1 П2. [c.34] С помощью первой и второй лемм Шура можно получить некоторые соотношения между матричными элементами неприводимых представлений труппы. [c.35] Отсюда согласно второй лемме Шура следует, что М — нулевая матрица, т. е. [c.36] Заметим, что до сих пор мы не предполагали унитарности представлений. Поэтому равенство (3.70) справедливо также для неунитарных представлений. Если же представления и унитарные, то из (3.70) мы получаем соотношение (3.66). [c.36] Перейдем теперь к доказательству второго соотношения ортогональности. [c.37] Вернуться к основной статье