ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Усреднение собственных значений и собственных функций задачи Дирихле в перфорированной области из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Если кратность собственного значения равна т, т. е. [c.253] Таким образом, условие С1 1 выполнено. [c.253] Справедливость условия СЗ обеспечивается оценкой (3.55) теоремы 3.9 и плотностью функций из ( Q) в L Q). [c.254] Пусть О — односвязная ограниченная область в с гладкой границей (30 и 5 — натуральный параметр, т. е. длина кривой дО, отсчитываемая от фиксированной точки на (30. Будем считать, что 5 меняется от О до 1. В окрестности (30 введем координаты (5, 1), где — расстояние от данной точки до кривой дО, по нормали к (30, проходящей через эту точку. [c.255] Через а (и) на дО или на дО обозначается конормальная производная о и)=ац 1, где v=(Vl, — единичный вектор внешней нормали к границе существующей области. [c.255] Приведем вначале некоторые вспомогательные результаты, которые будут использованы при доказательстве этой теоремы. [c.256] Заметим, что существование, единственность и равномерные по е оценки в Я (О ) решений задачи (4.1) через / и (ае) вытекают из теоремы 1.3 гл. I и следующей леммы. [c.256] Отсюда и из условий на ац х), а х), Ь вытекает неравенство (4 4). Лемма доказана. [c.257] Считаем параметр е настолько малым, что при е е имеем О е ]з(5/е) б/2. Поэтому 50 с Сд/г. [c.257] Доказательство этой леммы совершенно аналогично доказательству леммы 2.9 гл. II. При этом на 01 нужно взять область 0= (5, —6 0 и вместо множеств рассмотреть множества От= ( 5, t) t=0, е(т—1) 5 ет , т=1,. .. [c.258] Для исследования близости Я Яо применим общую схему, изложенную в п. 1,2. [c.260] оТ = и , где и , ы —решения задач (4.1), (4,2) соответственно. Легко убедиться в том, что 4 , — положительные самосопряженные компактные операторы, причем нормы е11 ограничены постоянной, не зависящей от е, в силу леммы 4.2. [c.260] Отсюда, из (4.16) и леммы 1.5 гл. I следует С4. [c.261] Таким образом, мы установили выполнение условий С1—С4 1 и можем применить теоремы 1.9, 1.12 для оценки близости соб--ственных значений и собственных функций задач (4.1), (4.2) точно так же, как это было сделано в 2 для краевых задач теории упругости. [c.261] Замечание 4,7, Построив пограничные слои, можно также получить оценки отклонения решений задач (4 1), (4 2) порядка е. [c.261] Хп-О пробегает ограниченное открытое множество Ос Н е С °(С), ф(11)==1- периодическая по -ц гладкая функция. [c.262] Замечание 4.9. Аналогичная задача может быть рассмотрена для системы теории упругости. [c.262] Основные результаты этого параграфа другим путем получены в работе [4] (см, также [91]). [c.262] Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора Ла пласа с граничными условиями Дирихле и с плотностью, постоянной всюду в области ЙсЯ , 3, кроме малой окрестности некоторой ее внутренней точки О. Предполагаем, что точка (У является началом координат в Я , Й — ограниченная гладкая область. [c.262] Нам потребуются следующие вспомогательные сведения. [c.263] Вернуться к основной статье