ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Пространства Соболева с весом Обобщенные решения уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Рассмотрим также пространства W( o), W2(o)), определенные в 1 гл. I. [c.239] Отсюда следует (3.8), поскольку в 26-окрестности Зсо имеем 0 i6, и потому правая часть этого неравенства стремится к нулю при 6- -0. [c.239] Это противоречит (3.13). Лемма доказана. [c.241] Если и У1 ( ), то Ф и н1 ( =). [Вложение VI (О ) с У ( ) компактно, (О , Г ) сг (О ). [c.242] Компактность вложения Уо (0 ) с У° (О ) при фиксированном 8-доказывается аналогично компактности вложения У (со) с У (со) в лемме 3.1, а вложение Я (0 , Г )сУо (0 ) аналогично вложению 2( )с с У ((о). Лемма доказана. [c.242] Доказательство. Заметим, что область Q имеет вид Qft Песо, где со — гладкая область с 1-периодической структурой, удовлетворяющая условиям В1—ВЗ 4 гл. I. В силу этих условий при любом 6 6о (6о достаточно мало) существует гладкая область (ОбСсо с 1-периодической структурой, такая, что сов удовлетворяет условиям В1—ВЗ и 0 i6 p(j , ю) С2б для х д(Иь, с,, Сг не зависящие от б постоянные. [c.243] Правая часть этого неравенства стремится к нулю при г - -0. Полагая в следствии 1,7 гл. I =1, получим, что левая часть (3.26) стремится к (mesQn в) ll в,— б 1к (й)-Поэтому 6, — 4=0. [c.244] Поскольку Ф( )=0 на (Эсо, то для любого о 0 в силу (3.28) существует такое б, что / .о/2 при всех е. Пользуясь (3.27), выберем 8° таким, что при всех е ео выполняется неравенство /1 ст/2. Отсюда вытекает сходимость к нулю левой части (3.29) при с - 0. Лемма доказана. [c.244] В качестве следствия из леммы 3.4 получим неравенство типа Фридрихса для функций из Уо ( 2 ). [c.244] Поэтому в сту (3.34) и (3.31) о=соп 1 е (О) и, значит, ио= = 0. Из (3.33) вытекает, что м О при е - -0. С другой стороны, ввиду (3.31), (3.32) II 111/о(пе )- 1 при е - 0. Полученное противоречие устанавливает справедливость неравенства (3.30). Лемма доказана. [c.245] Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3 8 гл. I. При этом нужно воспользоваться теоремой 1.3 гл. I, взяв Я=У (0 ), и неравенством Фридрихса (3 30). [c.246] Далее нам понадобится принцип максимума для обобщенных решений задачи (3.35). [c.246] Вернуться к основной статье