ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оценки скорости сходимости решений задачи Дирихле для сильно G-сходящейся последовательности эллиптических операторов высокого порядка из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " В случае слоистых сред общие результаты о сильной О-сходи-мостн, изложенные в 9 гл. 1, а также формулы (7.5) и теорема 7.1 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия сильной G-сходимости последовательности S, к оператору 2 в терминах сходимости некоторых комбинаций коэффи-диентов операторов 2 ,, при этом оказывается возможным получить явные выражения для коэффициентов S через слабые пределы соответствующих комбинаций коэффициентов операто ров A. . [c.185] Нам потребуются некоторые вспомогательные результаты о компактности в пространствах функций. [c.185] Лемма 7.6. Пусть семейство функций у), ее (О, 1), равномерно ограничено по норме С° . Тогда существуют последовательность и функция ФеС О , такие, что при каждом г/eQ г/) Ф(/, у) слабо в (О, 1) при е- 0. [c.185] Доказательство. Пусть У — счетное множество функций, всюду плотное в (О, 1). При фиксированной v T рассмотрим семейство функций от у. [c.185] Пользуясь результатами о сильной G-сходимости, изложенными в 9 гл. I, установим необходимые и достаточные условия сильной G-сходимости операторов, описывающих слоистые среды, в терминах слабой сходимости комбинаций коэффициентов системы (7.1). [c.188] Теорема 7.9. Предположим, что элементы матриц A J t, у) имеют равномерно по е ограниченные нормы в пространстве С . [c.188] Докажем сильную G-сходимость операторов 5 , к S . [c.190] у) на А (т, у), и определим посредством (7.6), заменяя там N1 Ж / на N4, МЬ. [c.190] Таким образом, из любой подпоследовательности е - О можем выбрать последовательность е - 0, такую, что справедливы соотношения (7 39) с = , B i= i, s=0,. .., n i, /=1,. .., n, где i выражаются через коэффициенты G-предельного оператора 3 по формулам (7.31). Ввиду произвольности подпоследовательности е - 0 отсюда следует выполнение условий (7.32) при е- 0. Теорема доказана. [c.191] При доказательстве теоремы 7.9 мы получили следующее утверждение. [c.191] Рассмотрим некоторые примеры последовательностей сильно О-сходящихся операторов, для которых выполнены условия (7.32). [c.192] Рассмотрим примеры, когда G-предельный оператор S имеет коэффициенты, зависящие от х. [c.193] Рассмотрим примеры функций, принадлежащих I. Функции fit, у) из класса С и 1-периодические по t принадлежат S4-0 при а=1. [c.193] Таким образом, оценка (7.46) доказана при а=0. При а=1 (7.46) доказывается аналогично, так как (7.44) можно почленно дифференцировать по у1 и при этом дС) у)1ду1=0. [c.194] В силу формулы (7.43) коэффициенты О-предельной системы имеют вид (7.49). [c.195] Обозначая подынтегральные выражения в (7.50) через j(т/e, у), т х1е, у) соответственно, имеем пЦ-, у) = гпц -, у) =0 и элементы матриц Лj(i, у), у) суть функции класса sФa. Поэтому из оценок (7.46) и определения б получаем, что бг Се . Теорема доказана. [c.195] Вернуться к основной статье