ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные функциональные пространства и их свойства. Вспомогательные предложения из "Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред " Настоящая глава содержит все основные результаты, относящиеся к системе теории упругости, которые используются в последующих двух главах. Вводятся функциональные пространства, которым принадлежат решения основных краевых задач теории упругости, а также ряда специальных краевых задач, которые необходимы в гл. П для построения теории усреднения и в гл. III для изучения спектральных свойств операторов теории упругости в сильно неоднородных средах. [c.8] Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8] В этом параграфе приведены определения основных функциональных пространств, а также даны формулировки теорем из функционального анализа, которые будут использоваться в дальнейшем. Доказательства этих теорем можно найти во многих монографиях и учебниках (см., например, [26 43 90 89 93]). [c.8] В евклидовом пространстве К будем обозначать точки через х= хи Хп), у= уи Уп), 1=(1и Ы. через А обозначается замыкание в К множества А. [c.8] Пусть й — область в К , т. е. связное открытое множество точек в К . Если не оговорено противное, будем предполагать, что область й ограничена. [c.8] Числа Я и I для данной области й фиксированы. [c.9] Скажем, что граница области О принадлежит классу С, если функции определенные выше, принадлежат пространству (0 г). [c.10] Пусть Y — множество, лежащее на границе 50 области О с липшицевой границей. Предположим, что у имеет ненулевую меру Лебега на (Зй. [c.10] Скажем, что функция иеЯ + (й) совпадает на у с функцией реЯ + (й) вместе с ее производными до порядка т включительно, если ы—феЯ + (й, у). [c.10] Вели у=(Эй, то (1.2) справедливо для любой ограниченной й. [c.10] Доказательство этой леммы и более общих утверждений можно найти в [56 44]. [c.10] Поскольку функции, тождественно равные постоянной, принадлежат пространству Я (й) и неравенство (1.2) не может быть выполнено для таких функций, заключаем, что Я (й, у)= Я (й), так как Я (й, у) не содержит ф=сопз1= 0. Отсюда следует также, что Я + (й) =Я + (й, у). [c.10] Через Я (й) будем обозначать пространство, сопряженное с ЯЧЙ, (ЭЙ) Яо (Й). [c.10] Следующая теорема описывает свойства функций, заданных в липшицевых областях. Эти свойства вытекают из более общих результатов, полные доказательства которых можно на 1ти, например, в [49 93 61]. [c.10] Нам также потребуются некоторые пространства периодических функций. [c.11] Пусть 2 — множество векторов г= ги., ,, 2п) с целочисленными компонентами, Обозначим через 3г 0) сдвиг множества О на вектор 2, т. е. 5г(0)=2+0. [c.11] Введем пространство Й а а, Ь)) как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в со (а, Ь) функций, периодических по Хх,. .., Хп- с периодом 1, по норме пространства Я (со(а, Ь)). [c.12] Элементы Я (со(а, Ь)) называем 1-периодическими по х= = хи. .., Хп- ) функциями, принадлежащими Я (со(а, Ъ)). [c.12] Пространства 2(ю), (со(а, )) также являются гильбертовыми, причем скалярное произведение в них задается той же формулой, что и скалярное произведение в пространствах Я (соПС). Я (ш(а, Ь)) соответственно. [c.12] Вернуться к основной статье