ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенные методы определения частоты колебаний сложных систем из "Введение в теорию колебаний " Ниже рассматриваются некоторые приближенные методы определения частоты сложных систем и дается численное сравнение результатов. [c.247] Сущность этого метода состоит в том, что заранее делаются некоторые допущения относительно конфигурации системы во время колебаний. Таким образом, налагая ограниче- щя на колеблющуюся систему, вообще говоря, приходят к рассмотрению системы с большей жесткостью, чем данная, вследствие чего получается более высокая частота колебаний по сравнению с истинной. [c.247] Из этого выражения видно, что если бы нам было известно точное уравнение формы колебаний Уд, которая является некоторой функцией от х, то при подстановке его в полученное выражение можно было бы получить точное значение искомой частоты р. [c.248] Метод Рэлея заключается в том, что вместо точного уравнения Уо = Ф М применяется приближенное, которое определяется действием статической нагрузки. Иначе говоря, предполагается, что форма колебаний системы с заданной нагрузкой совпадает со статической формой системы, находящейся под действием той же нагрузки. В этом основном предположении и вскрывается приближенный характер данного метода. Однако в большинстве случаев он дает неплохой результат, если учесть еще его относительную простоту. Необходимо отметить также, что метод Рэлея позволяет определить только основную собственную частоту колебаний системы. [c.249] Прежде чем идти дальше и искать окончательный вид решения задачи, проанализируем уравнение (4.97) и после несложных математических преобразований напишем его в несколько более удобной форме. [c.252] Это и есть окончательный вид уравнения частоты, причем степень его относительно равна числу уравнений (4.100), т. е. в конечном итоге — числу взятых аппроксимирующих функций. Низшая частота, т. е. минимальный корень уравнения (4.101), определяет основное колебание системы. Увеличивая последовательно число аппроксимирующих функций, мы будем, во-первых, получать все более и более точное значение частоты основного колебания, а, во-вторых, определять также частоты и других видов колебаний. Зная р , легко можно найти соотношения между параметрами, так как известно, что в системе линейных однородных уравнений неизвестные относятся, как соответствующие миноры детерминанта системы. [c.253] Решим теперь упрощенную задачу, рассмотренную в предыдущем параграфе, методом Рэлея — Ритца, при этом общие допущения и ограничения, указанные ранее, оставим без изменений. [c.253] В самом деле, во-первых, все эти функции удовлетворяют граничным условиям, а, во-вторых, поскольку влияние функций с возрастающим индексом будет все меньше и меньше. На доказательстве сходимости последовательных аппроксимаций при возрастании п мы здесь не останавливаемся. [c.256] Первоначально решим задачу в первом приближении, взяв для Уд первую аппроксимирующую функцию, т. е. [c.256] После упрощений приходим к биквадратному уравнению 24 — 2. 255.900 2 + 3078.786 = 0. [c.257] Заметим, что здесь нам совершенно не нужен был больший корень 22, так как этот корень соответствует уже другому, высшему типу колебаний той же балки и притом такому, при котором упругая линия балки симметрична относительно плоскости, равноудаленной от ее концов и перпендикулярной к прямой, соединяющей эти концы, это следует из выбора аппроксимирующих функций. В действительности же это будет уже третий тип колебаний. Но ведь мы ставим себе целью получить значение периода только для основного типа, для которого, пользуясь методом Рэлея — Ритца, мы нашли два последовательных приближения. Если бы мы стали вести расчет, опираясь на корень 2,2, то в этом случае получили бы для периода соответствующего типа колебаний только первое приближение для следующего приближения нужно в выражении для Уо взять уже три аппроксимирующие функции фг х) и т. д. [c.258] Остановимся несколько подробнее на получении этой формулы. Вывод проведем, пользуясь методом приведения масс. [c.259] Таким образом, Х/р можно рассматривать как результат загружения массой х(л ) линии влияния частоты 6 . [c.261] В заключение необходимо отметить, что в силу указанных допущений собственная частота, рассчитанная по Дан-керлею, всегда меньше истинной. [c.261] Вернемся к нашей задаче определения собственной частоты однопролетной балки длиной I, загруженной равномерно распределенной нагрузкой д. [c.261] Не останавливаясь на получении уравнения движения в общем виде, рещим задачу определения частоты колебаний с распределенной нагрузкой. Так как метод прямого интегрирования, в котором ограничения и допущения в задаче сводятся к минимуму, является наиболее точным, то полученный ниже результат возьмем в качестве критерия точности ко всем остальным значениям частоты, определенным приближенными методами. [c.262] Здесь ограничения сводятся лишь к тому, что балка считается достаточно тонкой, чтобы не вводить в рассмотрение эффекта вращательного движения отдельных ее элементов и, кроме того, не будем принимать во внимание действие перерезывающих сил. Однако и эти факторы могут быть учтены [ З]. Указанные ограничения имели место и в приближенных методах, но, если так можно выразиться, их удельный вес в сравнении с остальными ограничениями был весьма незначительным. Далее, мы предполагаем также, что материал балки однородный, изотропный и подчиняется закону Гука. [c.263] Из числовых коэффициентов видно, что, за исключением коэффициента 0,66195, полученного методом Данкерлея, период колебаний все больше приближается к точному значению (0,63662). [c.266] Эти данные показывают, что, беря вторую аппроксимацию по методу Рэлея — Ритца, мы получаем значение периода, чрезвычайно близкое к точному его значению поэтому потребность в следующем приближении часто отпадает. Эти соображения применимы и в тех случаях, когда точное решение задачи невозможно или чрезвычайно сложно, и приходится пользоваться приближенными методами. [c.266] Вернуться к основной статье