ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные колебания в случае пренебрежимо малого сопротивления из "Введение в теорию колебаний " Эти постоянные легко интерпретируются, именно tty — амплитуда колебания, р — начальная фаза, k — круговая частота. Решение в форме (4.21) возможно, если все корни уравнения (4.5) мнимые. Действительно, полагая А, = ik, от решения (4.3) приходим к решению вида (4.21), где А —величины действительные, что будет дальше доказано. [c.217] Может возникнуть вопрос если координаты избранной системы не являются главными, возможно ли путем соответствующего преобразования перейти к главным координатам Оказывается, что этот вопрос имеет утвердительный ответ. Именно, всегда можно подобрать линейное преобразование координат, приводящее две квадратичные формы Т я П, выражаемые формулами (1.29) и (1.33), к виду (4.27), т. е. всегда можно подобрать главные координаты. При этом вся совокупность частот или, как говорят, спектр частот не изменяется. В самом деле, частоты связаны с физическими свойствами системы и, конечно, не могут зависеть от того или иного выбора координат. [c.219] Отыскание главных координат в общем случае представляет собой задачу не легче, чем решение уравнения частот при произвольно выбранных координатах, вследствие чего к ним прибегают, главным образом, в теоретических выкладках. Мы воспользуемся ими, например, при исследовании затухающих колебаний и при изучении резонанса. При этом ограничимся лишь случаем двух степеней свободы. Конечно, задача оказывается весьма простой, если мы сразу сможем указать главные координаты. [c.219] Здесь в числителе стоит квадратичная форма, равная значению потенциальной энергии системы, в предположении, что обобщенные координаты qj = Хр аналогично в знаменателе оказывается кинетическая энергия при qj = Xj, т. е. [c.221] Так как П (х) и Т (х) — знакоопределенные положительные квадратичные формы, то есть величина не только действительная, но и положительная, что и требовалось доказать. Заметим, что Ук мы берем только с положительным знаком, так как вследствие произвольности Ks и отрицательные значения к не дают нового решения. [c.221] Решение уравнения частот, как и характеристического уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени. Но даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регулярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому часто пользуются всевозможными численными и графическими методами приближенного решения, применимыми также к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно левую часть характеристического уравнения представить, хотя бы приближенно, в виде произведения двух или большего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев заранее заготовляются специальные таблицы, графики или номограммы, с помощью которых получается достаточно быстрое и вполне удовлетворительное решение. [c.221] Пример. Продольные колебания системы, состоящей из четырех грузов равных масс т, связанных попарно тремя одинаковыми пружинами с коэффициентом жесткости с (рис. 101). [c.221] Зная г, легко найти й, а также период t каждого главного колебания. [c.224] Эти результаты удобно представить графически, откладывая по ординатам отклонения грузов в какой-либо момент времени, иначе говоря, откладывая значения миноров (рис. 102). [c.225] Схема а дает нулевую форму — равномерное движение системы, как твердого тела, схемы б, в а г дают соответственно 1, 2 и 3-ю формы колебаний. Буквой К отмечены узлы, т. е. такие точки в системе, которые в данном колебании остаются в покое. [c.225] Вернуться к основной статье