ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линейные системы с конечным числом степеней свободы из "Введение в теорию колебаний " До сих пор мы рассматривали такие механические и электрические системы, поведение которых описывалось дифференциальными уравнениями, либо вообще не содержащими время Ь в явном виде (автономные системы), либо содержащими его только в правой части, т. е. в выражении возмущающей силы, действующей на систему. Однако существуют системы, в которых некоторые параметры (к таковым относятся коэффициент жесткости с, коэффициент инерции а, коэффициент сопротивления Ь) изменяются в зависимости от времени. В том случае, когда такое изменение происходит по периодическому закону, имеет место параметрическое возбуждение колебаний, а линейные системы, в которых происходит это явление, называются реолинейными системами. Колебания, происходящие в таких системах, получили название квазигармонических колебаний. [c.180] Простейшим примером реолиней-ной системы могут служить обыкновенные качели (рис. 89). Известно, что для раскачивания качелей человек, стоящий на доске, должен в крайних положениях и М2 приседать, а в среднем положении /Ио выпрямляться. Здесь мы имеем систему, эквивалентную математическому маятнику переменной длины, которая увеличивается в крайних положениях и уменьшается в среднем. Возникающее при этом увеличение амплитуды колебаний называется параметрическим резонансом. [c.180] Это уравнение имеет многочисленные применения в технике. Однако мы ограничимся изложением лишь элементов относящейся сюда теории, разработанной Флоке для уравнений с периодическими коэффициентами, и более подробно остановимся на двух частных случаях, имеющих наибольшее практическое значение. [c.181] Не задаваясь целью отыскания общего решения уравнения Хилла (3.125), что является задачей весьма трудной, ограничимся исследованием возможности получения периодических решений, характеризующих колебания с постсянной амплитудой и наступающих при определенных условиях, а также выяснением условий устойчивости системы [ 5], [ ]. [c.181] Поскольку / (х) есть решение, оно должно являться линейной комбинацией решений первоначальной фундаментальной системы, т. е. [c.182] При вещественном Sj соответствующее Vj равно нулю. Если же корни Sj и 2 комплексные, то они непременно попарно сопряженные, и тогда Vi и Vj различаются только знаком. [c.185] На границе областей, т. е. в переходном случае корни уравнения (3.130) кратные, а поэтому поведение системы требует особого исследования ). Здесь заранее можно утверждать лишь то, что одно из двух решений периодично с периодом 2я или 4я. [c.186] Интересно отметить, что два решения одинакового периода ограничивают область неустойчивости, а два реше1шя разных периодов — область устойчивости. В самом деле, допустим, например, что в интервале между =1 и = — 1 лежит область неустойчивости, и, следовательно, корни уравР1е-ния (3.130) вещественные. Но тогда при перемещении от одной границы к другой, вследствие непрерывности корней, один из них должен обратиться в О, а тогда другой неизбежно будет равен бесконечности, что невозможно. Следовательно, между границами с разными периодами должна лежать область устойчивости, что и требовалось доказать. [c.186] В последующих двух разделах указанное построение областей будет показано для двух наиболее часто встречающихся вариантов уравнения Хилла. [c.186] Подставляя в уравнение (3.143) значения и из (3.142) при соответствующих значениях аргумента х и перенося все члены в одну сторону, получим для определения С , С , С3. С4 четыре однородных уравнения. Эти уравнения могут дать отличные от нуля решения для С , С , С , только в том случае, если определитель системы будет равен нулю. [c.188] Это сделано на рис. 91, где сплощные кривые соответствуют значению Л = -)- 1, а пунктирные — Л = — 1. Области устойчивости заштрихованы. Полученная диаграмма иногда называется картой устойчивости. [c.189] Здесь глубина пульсации характеризуется также величиной е. [c.189] Исследование уравнения (3.146) труднее, чем уравнения Мейснера. Построение граничных кривых основано на том, что на этих кривых, как мы уже знаем, имеет место периодическое решение с периодом 2я или 4я. Представляя решение в виде ряда Фурье, который подставляется в уравнение (3.146), сравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях и выписывая условия совместности получающихся алгебраических уравнений для коэффициентов Фурье, приходим к некоторым детерминантным уравнениям, связывающим б и е для граничных кривых ). [c.189] На рис. 92 представлена карта устойчивости, построенная по такому же принципу, как и в предыдущем случае. Сплошные кривые соответствуют периодическому решению с периодом 2я, а пунктирные — решению с периодом 4я. Устойчивые области заштрихованы. [c.191] при е- 0 частота критического возбуждения стремится к удвоенной собственной частоте системы. [c.192] Подставляя это разложение вместо д в дифференциальное уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получаем бесконечную систему линейных однородных уравнений относительно А , Ву. .. [c.194] Полагая коэффициент пульсации е малой величиной, мы можем в первых двух уравнениях отбросить последние члены, получив однородные уравнения относительно А и В . Эти уравнения имеют отличные от нуля решения, если их определитель равен нулю, т. е. [c.194] Пример 1. Обращенный маятник. Совершенно очевидно, что маятник ОА (рис. 93), повернутый вверх около своей точки опоры О, неустойчив. Допустим, что этой точке опоры сообщено периодическое движение по вертикали так, что отношение ускорения а этого движения к ускорению силы тяжести g есть какая-то периодическая функция времени 0 t). [c.195] Составим по правилам механики уравнение движения маятника в подвижной системе Оху. [c.195] Вернуться к основной статье