ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вынужденные колебания нелинейных систем из "Введение в теорию колебаний " Если п к, то это есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, для которого фазовая диаграмма известна. Именно, мы имеем в качестве особой точки устойчивый фокус, к которому асимптотически приближаются закругляющиеся спирали (рис. 66, а). [c.137] Располагая семейством таких спиралей, разрежем рисунок по оси л , и сдвинем верхнюю половину влево на г, а нижнюю вправо на г и сошьем подходящие фазовые траектории. Таким образом, получим на фазовой плоскости точный портрет движения системы с отрезком покоя 515г, характеризующим зону застоя системы (рис. 66, б). [c.137] Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и определяется исключительно параметрами системы. Ранее мы видели, что в автономной линейной колебательной системе возможен периодический процесс лищь в случае ее консервативности при этом амплитуда колебаний определяется начальными условиями. Таким образом. автоколебательные процессы присущи только нелинейным системам. [c.139] Обратимся к рис. 69,6, где имеются два предельных цикла l и 2. Поскольку прочие фазовые траектории представляют собой спирали, сматывающиеся с цикла С и наматывающиеся на цикл j, то мы можем сказать, что О есть устойчивая особая точка — фокус, j — неустойчивый предельный цикл, С2 — устойчивый предельный цикл. Колебательный процесс, соответствующий циклу j, физически не существует система либо приходит в состояние покоя, либо увеличивает свои размахи так, чтобы установились колебания, соответствующие циклу j. Здесь мы имеем пример жесткого возбуждения автоколебаний необходимо для установления колебаний забросить изображающую точку за цикл С . Если же последний, стягиваясь к точке О, исчезает, получаем предыдущий случай мягкого возбуждения автоколебаний, так как в этом случае достаточно изображающую точку сколь угодно мало отклонить из точки О, чтобы установились колебания, соответствующие циклу j. [c.142] Боголюбовым, в приближении первого порядка оказывается также совпадающим с методом осреднения. [c.142] Автоколебания возникают в системе тогда, когда она переходит через границу области устойчивости. Правда, может случиться, что при этом переходе система вообще пойдет в разнос , но могут установиться и автоколебания. [c.143] Вопрос решается исследованием нелинейных членов уравнения. Поясним сказанное примером из области электрических колебаний. [c.143] Так как параметр О — проницаемость лампы — обычно очень мал, то приближенно можно положить О 0. [c.144] Таким образом, если исходить из данных, при которых / С — Л15 = О, то, меняя слегка хотя бы один из параметров Я, С, ж, 5, мы можем качественно менять характер процесса в контуре, т. е. имеем так называемую грубую систему. [c.145] В дальнейшем (стр. 155) этот пример рассмотрим подробно в нелинейной трактовке, которая покажет возможность порождения автоколебаний. [c.145] Эти уравнения упрощаются, если предварительным преобразованием времени д = oi привести задачу к случаю со=1. [c.147] Таким образом, автоколебания возможны, если уравнение (3.75) имеет вещественные корни. [c.147] Следовательно, в начале координат имеем неустойчивый фокус, из которого выходят спирали, навивающиеся изнутри на предельный цикл. [c.149] Если ц. О, то предельный цикл неустойчив с него сматываются спиралеобразные фазовые траектории во внешнюю и внутреннюю стороны. Начало — устойчивый фокус. [c.149] Уравнение (3.86) называется у равнением порождающей амплитуды, оно нередко бывает трансцендентным и решается графическим или численным методом. [c.153] Следовательно, найденный предельный цикл устойчив. [c.155] Следовательно, X — 0, т. e. в первом приближении поправка на период отсутствует. [c.155] Существование и устойчивость предельного цикла для этого уравнения было показано. Итак, возникает автоколебательный процесс, маятник совершает незатухающее колебание постоянной амплитуды около своего отклоненного положения. [c.157] ЭЛЛИПСОМ (при обычном времени t) или окружностью (при безразмерном времени ). При малом х гармоническая аппроксимация вполне достаточна, и колебания получаются синусоидальными. Заметим, что при отыскании дальнейших приближений по методу Пуанкаре имеем почти синусоидальные колебания. Иную картину будем иметь в двух следующих примерах. [c.158] Замкнутая кривая есть предельный цикл. Как видно, этот цикл уже заметно отличается от окружности и даже от эллипса. [c.159] Вернуться к основной статье