ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость равновесия из "Введение в теорию колебаний " Выбор координат, определяющих состояние системы, вообще произволен и подчинен лишь практическим соображениям. Например, при рассмотрении колебаний автомобиля. [c.11] Обобщенными координатами могут быть не только механические величины, но и другие величины, например, температура, сила тока и т. д. [c.11] В этой книге, наряду с механическими системами, мы будем рассматривать в качестве примеров также электрические системы. [c.11] Понятия устойчивости и неустойчивости, тесно связанные с учением о колебаниях, почти очевидны и известны еще из элементарной физики. В самом деле, легко дать оценку устойчивости шарика, находящегося на поверхности (рис. 3). [c.11] в случае а положение его устойчиво, в случае б—неустойчиво и, наконец, в случае в — находится в безразличном равновесии. [c.12] Условие равновесия не определяет еще устойчивость рассматриваемого состояния. Обоби1,енной силой Q , соответствующей координате ql, называется такая величина, произведение которой на приращение 6 ,- равно работе всех сил, приложенных к системе, на перемещении системы, соответствующем этому приращению координаты д1. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат. [c.12] Устойчивость, определенную таким образом, называют обыкновенной устойчивостью. Если же с течением времени все 7/ стремятся к нулю, то говорят, что система обладает асимптотической устойчивостью. [c.13] Таким образом, при обыкновенной устойчивости точки системы не выходят за назначенные заранее границы, а при асимптотической устойчивости стремятся к своим равновесным положениям. [c.13] Можно установить достаточный признак или критерий устойчивости для консервативных систем, который дается теоремой, доказанной в конце XVIII века Лагранжем для некоторых частных случаев и обобщенной в середин XIX века Дирихле на случай любых консервативных систем. [c.13] Теорема Лагранжа — Дирихле. Если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то равновесие устойчиво. [c.13] Следовательно, ни одна из координат не достигает своего предельного значения, т. е. равновесие устойчиво, что и требовалось доказать. [c.15] Необходимого признака устойчивости не существует. Однако иногда можно заранее утверждать, что система неустойчива. Это можно сделать в случаях, предусмотренных теоремами Ляпунова, доказательство которых не элементарно. [c.15] Теорема 1. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия не есть минимум и отсутствие минимума определяется уже по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии. [c.15] Теорема 2. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия есть максимум, определяемый членами наинизшего порядка в разложении потенциальной энергии в степенной ряд. [c.15] Следовательно, имеем неустойчивое равновесие. [c.16] Примечание. Упоминавшееся выше безразличное равновесие (рис. 3, в) не подходит ни к одному из определений приведенных теорем. С точки зрения общей теории мы имеем в данном случае неустойчивость, так как сколь угодно малые начальные скорости могут увести точку далеко от начального положения. [c.17] Вернуться к основной статье