ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дисперсия — Задача Коши—Пуассона из "Сейсмические морские волны цунами " Из уравнения (1.4) видно, что длинные волны распространяются со скоростью, которая зависит главным образом от глубины, но с небольшой отрицательной поправкой, пропорциональной значению 1. Две волновые компоненты с несколько различными значениями и стремятся разделиться в процессе распространения. Таким образом, х есть мера частотной дисперсии . [c.13] Приближенно скорость есть Vg Z), но с небольшой положительной поправкой, пропорциональной относительной амплитуде. Таким образом, параметр е характеризует амплитудную дисперсию. [c.14] Для изучения цунами применяются как линейные, так и нелинейные уравнения. Однако при распространении цунами через континентальный шельф следует применять промежуточный тип уравнений — уравнения Буссинеска. [c.14] Граничное условие на дне выражает отсутствие вертикального потока, т. е. [c.15] Решение выражений (1.15), (1.16) зависит от отношения 8/ л, т. е. от параметра Урселла, который определен в уравнении (1.1). [c.16] Лайтхилл [361], по-видимому, первым предложил термины частотная дисперсия и амплитудная дисперсия . Другие авторы использовали для обозначения первой термин дисперсия , а второй — нелинейные эффекты . При частотной дисперсии распространение волн различной частоты происходит с различной скоростью, тогда как амплитудная дисперсия относится к ситуации, при которой по сравнению с подошвами гребни волн распространяются с большими скоростями, что приводит к увеличению крутизны волн. Ниже будут рассмотрены случаи, когда частотная и амплитудная дисперсии стремятся уравновесить друг друга. [c.16] В этих уравнениях нет ограничения на относительную амплитуду волны 8, поскольку, если продолжить разложения, приведшие к выражениям (1.15), (1.16), то члены с множителем и высшими степенями появляются всегда с множителем ц в качестве сомножителя и эти члены пропадают при пренебрежении величиной 1. [c.17] Это — сокращенное уравнение, полученное из уравнения Буссинеска, с помощью которого можно понять взаимодействие между амплитудной и частотной дисперсиями. [c.18] Если пренебречь третьим членом правой части этого уравнения и принять во внимание, что выражение (1.39) записано в безразмерной фор.ме, то выражение (1.39) сводится к уравнению (1.5). [c.19] Эффект амплитудной и частотной дисперсии качественно можно оценить, интегрируя выражение (1.41) по величине 5. Однако эти решения ограничены случаями периодической либо уединенной волны, когда величина г] и ее производные стремятся к нулю при большом 5 . В обоих случаях интегральные члены можно отбросить при интегрировании по частям. [c.20] Здесь Ра — атмосферное давление. Начало координат расположено на уровне невозмущенной свободной поверхности. [c.22] Так как величина Z не содержится в уравнении (1.65), значение и одинаково на всех глубинах. Однако величина w зависит от значения Z. Из-за этого орбиты частиц представляют не окружности, а эллипсы с горизонтальной большой осью. Длина большой оси эллипса — 2aj KO) —одинакова на всех глубинах. Длина малой оси уменьшается с глубиной, как 2a Z + 0)l0. Вблизи дна эллипсы вырождаются в отрезки прямой. [c.23] Теория волн малой амплитуды пригодна в тех случаях, когда возвышением поверхности можно пренебречь, т. е. движение происходит в пределах известных границ (верхней и нижней). Предположение о линейности позволяет определить сложное волновое движение посредством суперпозиции элементарных волновых движений. [c.23] На основании решения второго порядка можно сделать следующие заключения [441] профиль свободной поверхности не синусоидальный, а трохидальный, т. е. возвышение гребня больше, чем глубина ложбины. Орбиты частиц не круговые и незамкнутые. Таким образом, имеет место результирующий перенос частиц в направлении распространения волн. [c.24] На рис. 1.1 показаны области существования различных решений в координатах X/D и а/Я, где а — вертикальное расстояние между гребнем и подошвой волны. Два вида разрушений ограничивают область существования периодических волн. На глубоководном конце шкалы расположены так называемые волны максимальной высоты, которые, если они существуют в виде стационарных волн на течении, замораживают движение частиц в своих гребнях, заостренных в форме клина, что впервые было показано Стоксом. Волны промежуточных высот, которые также были вычислены Стоксом, носят теперь его имя. [c.24] Задачей Коши—Пуассона называют задачу о поверхностных волнах с начальными условиями. Классическая задача, как она описана Ламбом [5], относится к одномерным стоячим волнам в океане бесконечной глубины. Классическая задача едва ли пригодна для изучения цунами, но она проста и может быть использована для ознакомления с основными понятиями. Рассмотрим два различных начальных состояния начальное смещение свободной поверхности при нулевых скоростях и начальное распределение потенциала скорости при горизонтальной поверхности. [c.26] Предполагая, что область начального возмущения невелика и сосредоточена вблизи начала координат и, следовательно, что функция I (а) отлична от нуля для бесконечно малых значений а, Ламб выразил величины ф и г] в виде ряда, а также в другой форме, включающей интегралы Френеля. [c.27] Дальнейшая процедура подобна изложенной выше. [c.27] Вернуться к основной статье