ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение движения. Простые гармонические колебания. Нормальные моды колебании. Вынужденные колебания Задачи из "Колебания и звук " Анализ колебаний мембраны более сложен, чем анализ колебаний соответств ющей одномерной системы, гибкой струны, так как мембрана имеет гораздо больше свободы для колебаний, чем струна. Форма кривой, изображающей смещение данной точки струны в функции времени, имеет тесную связь с формой самой струны в тот же момент времени, как мы это видели в 8. Соответствующая кривая колебания точек мембраны не может иметь подобного соответствия с формой мембраны для того же момента времени, потому что кривая, описывающая смещение точки в функции времени, является линией в одном измерении, между тем ггак форма мембраны является поверхностью, т. е. системой двухмерной. [c.195] Упругие силы в мембране. — Первой нашей задачей является составление уравнения движения мембраны. Это делается так же, как и в случае струны. Ясно, что части мембраны, имеющие выпуклость , которая смотрит во внешнем направле-ппп от плоскости равновесия, будут иметь ускорение, направленное к этой шюскости, и наоборот. Вообще у корение какои-либо части пропорционально её выпуклости и противоположно ей по направлению. Теперь нам необходимо найти количественную меру этой выпуклости или кривизны. [c.196] Оператор Лапласа. — Левая часть полученного выражения является мерой выпуклости (нлп скорее отрицательной выпуклости) того элемента мембраны, который мы рассматриваем. В данной задаче мы сталкиваемся с дополнительней трудностью, рызванной тем, что она относится к двум измерениям. [c.197] Трудно ВЫЧИСЛИТЬ, так что приходится делать большое количество численных интеграций, чтобы найти форму волны. [c.199] Для ограниченной мембраны трудности решения задачи резко возрастают. Большая сложность колебаний мембраны по сравнению с колебаниями струны как раз проявляется ясней всего, когда мы начинаем учитывать влияние граничных условий. В случае струны нам необходимо было поставить граничные условия только в двух точках в случае же мембраны эти условия должны быть вдоль всей граничной линии, причём дополнительно следует задать ещё и форму граничного контура мембраны. Изменение формы ограничивающего контура будет иметь такое же большое влияние на колебания, как и изменение граничных условий вдоль этого контура. Это ведёт к тому, что единственный путь, какпм мы мон ем учесть граничные условия, заключается в том, что при решении задач приходится выбирать координатную систему, подходящую к форме контура так, прямоугольные координаты удобны при прямоугольных Границах, полярные — при круговых и т. д. И если мы не можем решить волнового уравнения в координатах, подходящих для выбранных границ, то мы не в состоянии получить численного результата, необходимого для изучения колебаний мембраны. [c.199] Мы считаем, однако полезней, рассматривая вынужденное колебание, сначала решать задачу для сил, сосредоточенных в одной точке, а затем уже для сил сосредоточенных на малой площади. Результат этого допущения скажется в том, чго форма мембраны будет иметь острый пик бесконечной высоты в точке приложения силы. Затем мы срежем остриё пика до такой высоты, чтобы площадь вершины срезанного пика была равна действительной площади приложения силы (это показано на фиг. 35). [c.200] Приведённое рассуждение показывает, что приводить в движение мембрану силой, сосредоточенной на малой площади, невыгодно, так как амплитуда колебания остальной части мембраны будет много меньше, чем амплитуда в зоне приложения силы. [c.200] Если плёнка материала имеет некоторую жёсткость, то сила, сосредоточенная в точке, не будет давать бесконечного смещения. Но если нет значительной жёсткости, то смещение точки прило-л ения будет значительно больше, чем смещение на остальной площади. [c.200] Это решение есть не что иное, как иначе записанное решение (18.4), в котором вместо v os а взято С, а вместо vsina взято г. [c.203] Форма мембраны для первых четырёх мод изображена на фиг. 36. Заметим, что число узловых линий, параллельных оси у, равно (т—1), а параллельных оси х равно (л—1). [c.203] Как мы знаем, в случае струны допустимые частоты расположены на равных промежутках вдоль шкалы частот, в случае же мембраны допустимые частоты следуют тем теснее дру к другу, чем больше частота. Чем выше частота, аем больше обертонов находится в интервале (Ду) данной величины. Этим свойством обладают все мембраны, независил/[о от формы ограничивающего контура. Можно показать для любой мембраны, что в среднем число допустимых частот между у и у + Ау равно (21ту/с ) Ау, умноженному на площадь мембраны. В 32 мы увидим, как это можно доказать. [c.204] В вырожденном случае возможно, что в мембране конечной-величины возникает простое гармоническое движение в форм бегущих волн. [c.206] Это выражение будет справедливо как для вырожденного, так и для невырожденного случая. [c.207] Начальная форма мембраны и её форма в последующие моменты, через одну восьмую периода для o hoblou моды колебания показана на фиг. 38. Мы видим, как начальный импульс распространяется во все стороны и затем отражается от краёв, давая в центре всплеск в момент = 3/4. Так как не все обертоны являются гармониками, колебания оказываются непериодическими. Мы замечаем, что форма импульса изменяется по мере того как он распространяется к краям. В следуюшем-параграфе мы сможем сказать больше об этом изменении формы. [c.207] Прямоугольные координаты полезно употреблять при описании параллельных волн и нормальных мод колебания при прямоугольной границе мембраны, но для изучения круговых волн и нормальных мод при круговой граничной линии проще всего пользоваться полярными координатами. При изучении круглой мембраны мы будем сталкиваться ещё более убедительно, чем раньше, со значтиельными различиями между волновыми движениями в струне и в мембране. Чтобы выявить эти различия, мы начнём с изучения колебаний мембраны бесконечной протяжённости. [c.207] Уравнение (19.1) показывает, что смещение мембраны в точке х, /) в момент времени зависит от формы и скорости в хмомент 1 = 0 всех других частей мембраны внутри круга радиуса с1 около точки [х, у). Площадь мембраны, которая влияет на смещение т) (х, у, I), расширяется с увеличением I. [c.208] Вернуться к основной статье