ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общее уравнение. Простое гармоническое движение. Нормальные моды колебаний. Энергетические соотношения. Случай малой связи Случай резонанса. Передача энергии. Вынужденные колебания. Резонанс и нормальные моды колебания. Движение при переходных процессах Задачи из "Колебания и звук " Рассмотрение какой-либо проблемы, научной или технической, имеет две стороны физическую, т, е. выражение наблюдаемых явлений при помощи некоторых законов и представление результатов в таком виде, какой может быть проверен экспериментом, и математическую сторону, т. е. разработку промежуточных ступеней с помощью математического аппарата. Обе эти стороны рассмотрения задачи одинаково важны и употребляются одновременно, причём физическое и математическое рассмотрения проверяют одно другое. [c.15] Решение проблемы обычно составляет три этапа поставовка проблемы, промежуточные символические вычисления и выражение результата. Постановка задачи, которую нужно решить, не всегда бывает проста. Нужно решить, какие свойства изучаемой системы важны и какими можно пренебречь, какие факты должны быть выражены количественно и какие только качественно. Когда всё это определено, то можно сказать, чю такая-то и такая-то системы тел обладают такими-ю и такими-ю свойствами, существенными для данной задачи. [c.15] В дальнейшем это словесное выражение мы выражаем уравнениями и решаем их, если это возможно. [c.15] Математическое решение должно быть использовано в форме физических понятий. Если мы делаем что-либо с изучаемой системой, то мы должны уметь сделать вывод, как она будет вести себя при этом. Важно понять, что математическое решение ряда уравнений не есть ещё решение физической задачи. Мы должны сформулировать решение в виде физических понятий, прежде чем считать задачу решённой. [c.15] Чтобы связать две стороны этого явления, мы должны выразить рассматриваемые физические величины количественно. Мы должны сказать, каким образом должна быть измерена каждая физическая величина и какие должны быть взяты единицы для её измерения. Основные величины—длина, масса и время—могут быть измерены в произвольных единицах, но для удобства мы будем пользоваться общепринятой системой единиц ССЗ сантиметр, грамм и секунда (единицы измерения иных величин электричества, теплоты и других, мы дадим позже, когда с ними встретимся). Единицы измерения остальных механических величин определяются через вышеуказанные основные единицы. Уравнение 1Р= 1 тг)1д,1 есть не только математическое выражение физического закона оно является также определением единицы измерения силы. Оно утверждает, чго величина силы, измеренная в динах, равна скорости изменения количества движения, измеренного в граммах, умноженных на сантиметр и делённых на секунды. Если сила будет измерена не в динах, а в других единицах, то это уравнение будет уже неверно. В таком случае необходимо поставить числовой множитель по одну или другую сторону знака равенства. [c.16] Если действующая на тело сила увеличивает его скорость, то работа, которую тело производит, переходит в энергию движения тела, которая может опять перейти в работу, когда тело замедляет свою скорость. Такая энергия движения называется кинетической энергией и равна тиу2 эргов. [c.16] Это есть математическое выражение физического факта, что в случае, когда можно пренебречь трением, сумма кинетической и потенциальной энергии изолированной или консервативной системы постоянна. Проведённое доказательство можно обобщить на случай движения в трёх измерениях. [c.17] Имея основные определения, вернёмся снова к рассмотрению физической проблемы с двух точок зрения. [c.17] Разберём сначала простой пример. Предположим, что на конце пружины находится тело массы т. Известно, что для того, чтобы удержать эту массу смещённой на расстоянии х от поло- кения равновесия, требуется сила в -[-Кх дин. Чем дальше мы отведём тело от положения равновесия, тем сильнее пружина будет тянуть его обратно. Это то, что известно о системе. Задача состоит в определении движения тела. [c.17] Физический смысл эюго уравнения таков ускорение тела всегда пропорционально его смещению и про1Ивоположно ему по знаку. Это значит, что оно направлено к положению равновесия х = 0. Как только тело пройдёт эту точку, оно начинает замедлять движение и, наконец, останавливается, затем возвращается и движется к начальному положению, но не может остановиться в начале координат потому, что процесс замедления начинается только после того, как тело пройдёт начальную точку во время своих колебаний. [c.18] Путь решения каждого дифференциального уравнения состоит в построении решения и дальнейшей его проверке. К большинству задач такой путь применялся с давних пор, и хотя в данном случае решение известно, тем не менее такое построение полезно выполнить. [c.18] Далее мы видим, что математическое решение заключает в себе некоторые произвольные постоянные и Они должны быть определены из физических условий эксперимента, который мы рассмотрим позднее ( 3). [c.19] Можно сказать, чю решением уравнения (2.4) будет выражение =/l/i(a ), где произвольная постоянная А должна быть определена из физических условий задачи, как это будет показано позже. [c.21] Так как решение должно выражать определённые физические явления и потому не может стать бесконечным, то константа В должна быть равна нулю во всех случаях, когда х может принять значение нуль. Этими функциями мы подробнее займёмся в главе V. [c.21] Показательная функция. — Другой весьма распространённый вид решения уравнения (2.1) люжет быть получен следующим образом. [c.21] Функция е является комплексной величиной с действительной и мнимой частью и может быть представлена точкой на комплексной плоскости , у которой абсцисса является действительной частью функции, а ордината — мнимой частью. Эту функцию также можно представить вектором, выходящим из начала координат и направленным в соответствующую точку комплексной плоскости. [c.22] Условия относительно знака. — В настояндей книге мы пользуемся буквой I для обозначения 1 и символом для выражения простои гармонической зависимости от времени. Во многих книгах по электротехнике вместо буквы г пишут символ /, а в экспоненте берут положительный знак. Поскольку мы условились использовать действительную часть результата, выбор символа и знака вполне произволен любой способ является одинаково хорошим, если мы только будем его последовательно придерживаться. [c.25] В таком написании импеданс цепи с сопротивлением и индуктивностью, включёнными последовательно, будет равен Л— о) .. [c.25] Мы опять замечаем, что решение (2.11) имеет две произвольные постоянные. Произвольность постоянных соответствует тому, что это решение должно отвечать всем возможным видам движения, которые система может совершать, находясь под действием сил, входящих в уравнение (2.10). Масса на пружине может совершать различные движения в зависимости от того, каким образом она приведена в движение в момент i = 0. Поэтому значения произвольных постоянных ж в уравнении (2.2) в каждом частном случае целиком определяются физическим состоянием системы в начальный момент. Это физическое состояние называется начальными условиями и обычно определяется заданными положением и скоростью системы при / = 0. Более подробно об этом будет сказано в следующей главе. [c.26] Вернуться к основной статье