ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О плоскостях, касательных к поверхностям н проходящих через точки, заданные вне этих поверхностей из "Начертательная геометрия " Если в окрестности крепости имеются две высоты, от которых требуется защитить укрепления, плоскость дефилады должна быть одновременно касательной к поверхностям этих двух высот для факсирования ее положения остается только одно свободное условие, которым и пользуются, а именно на местности выбирают точку, через которую должна пройти эта плоскость, так, чтобы она как можно лучше удовлетворяла условиям, изложенным в первом случае. [c.63] Поверхности тел, в особенности гладких, обладают блестящими точками, сравнимыми по яркости с освещающим их источником света. Яркость этих точек тем больше, и размеры их тем меньше, чем более гладкой является поверхность. На матовых поверхностях блестящие точки имеют значительно меньшую яркость и занимают большее пространство на поверхности. [c.63] Положение яркой точки определяется для каждой поверхности условием, чтобы падающий луч света и отраженный луч, направленный к глазу зрителя, лежали в одной плоскости. [c.63] Поверхность глазного яблока блестящая. Кроме того, она покрыта легким слоем влажности, которая делает ее еще более блестящей когда мы рассматриваем открытый глаз, то видим на его поверхности маленькую очень яркую точку, положение которой зависит от положения освещающего объекта и наблюдателя. Если бы поверхность глаза была совершенно сферической, его вращение вокруг своей вертикальной оси не вызывало бы ни малейшего смещения блестящей точки, но эта поверхность вытянута в направлении оси зрения, и когда она поворачивается вокруг вертикальной оси, положение блестящей точки изменяется. Поскольку опыт сделал нас очень чувствительным к этому изменению, оно играет большую роль в нашем суждении о направлении взгляда. Именно разница в положении блестящих точек в двух глазных яблоках человека и дает возможность судить о том, косит ли он или нет, смотрит ли он на нас, и, если не смотрит, то куда, направлен его взгляд. [c.64] Приведя этот пример, мы не хотим сказать, что на картине нужно геометрическим путем определять положение блестящей точки на глазном яблоке, мы только обращаем внимание на то, что незначительные ошибки в положении этой точки вызывают большие последствия в воспринимаемой форме объекта, хотя рисунок его видимого контура остается неизменным. [c.64] Поверхность шара — одна из самых простых. Она может быть образована различными способами, общими с большим числом различных поверхностей ее можно было бы, например, причислить к поверхностям вращения в не говорить ничего о ней в частности. Но ее правильность приводит к замечательным следствиям, часть из которых интересна своей новизной и которыми мы прежде всего и займемся, не столько ради них самих, сколько для того, чтобы приобрести в изучении трех измерений опыт, который нам будет необходим для более общих и полезных случаев. [c.65] Решение. Первый способ. Пусть А м а (фиг. 16) будут две проекции центра шара, B D проекция горизонтального большого круга, EF и е/—две случайные проекции заданной прямой пусть через центр шара проведена плоскость, перпендикулярная прямой, и пусть построены по данному нами методу (фиг. 6) проекции С и g точки пересечения прямой с плоскостью. [c.65] Очевидно, что через данную прямую можно провести две плоскости, касательные к шару, из которых первая коснется его с одной, а вторая с другой стороны, и между которыми он будет заключен таким образом определятся две различных точки касания, проекции которых должны быть построены прежде всего. [c.65] Проведем через центр шара горизонталь в перпендикулярной плоскости вертикальную проекцию горизонтали получим, проведя горизонталь ак, а другую проекцию, — опуская перпендикуляр АН на ЕЕ, если вообразить, что перпендикулярная плоскость вращается вокруг этой горизонтали, как на шарнире, до того, пока она сама не станет горизонтальной, то очевидно, что ее сечение поверхностью шара совместится с окружностью ВСО, что обе точки касания будут лежать на этой окружности и что, если построить точку /, в которой при этом движении находится пересечение перпендикулярной плоскости с заданной прямой, — касательные /С, /Д проведенные к кругу ВСО, определят эти две точки касания в том положении, в котором они теперь рассматриваются. Нетрудно построить точку / или, что равносильно, найти ее расстояние до точки Н ввиду того, что горизонтальная проекция этого расстояния есть СН, и разность вертикальных высот ее концов есть если отложить на горизонтали аН отрезок д к, равный СН, — гипотенуза кд будет равна по величине этому расстоянию следовательно, откладывая на ЕЕ отрезок Н1, равный дк, и проведя обе касательные 1С, Ю, мы определим точки касания С тх. О в положении, занятом ими после совмещения перпендикулярной плоскости с горизонтальной. [c.66] Для нахождения вертикальных проекций тех же точек проведем сначала к LM неопределенные перпендикуляры Rr, Ss затем, проектируя точки ЛГ, К в к, к и проводя через точку g прямые gk, gk, получим вертикальные проекции тех же двух касательных. Проекции соответственных точек касания будут, следовательно, лежать на этих прямых, и точки г, s их пересечения с вертикалями Rr, Ss будут искомыми проекциями. [c.67] Вместо того чтобы проводить через точки касания новые прямые, можно найти следы двух касательных С/ , 08, что привело бы к той же цели. Что касается следов обеих этих плоскостей в вертикальной плоскости, мы найдем их по ранее применявшемуся способу. [c.68] Это решение могло быть сделано значительно более изящным, если бы провести обе плоскости проекций через самый центр шара. При этом обе проекции шара совместились бы в одном круге, и продолжения прямых линий были бы менее длинными. Мы разделили обе проекции только для большей ясности изложения. На самом деле легко было сделать построение значительно более сжатым. [c.68] Если продолжить плоскость горизонтального большого круга до пересечения с заданной прямой в некоторой точке, то мы получаем вертикальную проекцию этой плоскости, проведя через точку а неопределенную горизонталь Ьад, точка д, в которой эта горизонталь пересекает е/, будет вертикальной проекцией точки пересечения плоскости с заданной прямой горизонтальную же проекцию С этой точки получим, проектируя д на ЕЕ. [c.68] прямая, проведенная через обе точки касания, проектируется горизонтально в СО и вертикально в Л / она встречает плоскость горизонтального большого круга в точке, вертикальная проекция которой п лежит в пересечении ЛГ/ с Ьад горизонтальную проекцию ее найдем, проектируя точку п на СО. [c.71] После этого представим себе, что плоскость вертикального круга, проектируемого в СО, поворачивается вокруг своего горизонтального диаметра, как вокруг шарнира, чтобы сам эй стать горизонтальной, и что она увлекает за собой в своем движении обе точки касания, через которые проходит окружность, и прямую, соединяющую эти точки. Мы построим этот круг в его новом положении, описывая на СО, как на диаметре, круг СРОО, и если бы мы построили прямую, соединяющую обе точки касания, то она пересекала бы окружность СРОО в двух точках, определяющих положение точек касания на этой окружности, рассмотренной в ее горизонтальном положении. [c.71] Для того чтобы получить горизонтальные проекции тех же двух точек в их естественном положении, надо представить себе, что круг PBQ возвращается в свое первоначальное положение, вращаясь вокруг того же шарнира СВ. В этом движении эти две точки Р и Q опишут четверти круга в вертикальных плоскостях, перпендикулярных СВ, горизонтальными проекциями которых будут перпендикуляры РР и Q5 опущенные на СВ. Следовательно, горизонтальные проекции двух точек касания будут лежать соответственно на прямых РР и но мы видели, что они должны лежать также на СВ следовательно, они будут лежать в двух точках пересечения РиЗ. [c.72] Вертикальные проекции г и 5 обеих этих точек мы получим, проектируя точки /2 и. 5 на К1 или, что равносильно, откладывая на вертикалях Рг, Зз от горизонтали Ьад отрезки г г равный РР, и 5 5, равный QAS. [c.72] После того как построены горизонтальные и вертикальные проекции двух точек касания, мы определим следы двух касательных плоскостей, как и в первом решении. [c.72] Второе решение также может быть значительно сокращено,, если провести плоскости проекций через центр сферы этим самым обе проекции сведутся к одной фигуре. [c.72] Мы видели, что обе конические поверхности, описанные вокруг шара, касались его каждая пэ окружности круга и что эти окружности проходили обе через две точки касания шара с касательными плоскостями. Это свойство не является присущим только двум коническим поверхностям, рассмотренным нами, оно относится ко всем поверхностям, вершина которых лежала бы на заданной прямой и которые были бы описаны вокруг шара. [c.73] Вернуться к основной статье