ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Способ построения касательных плоскостей в данных точках кривых поверхностей (фиг из "Начертательная геометрия " Что касается построения нормали, то мы не будем особо заниматься этим вопросом, так как он сводятся к построению перпендикуляра к касательной плоскости, что мы умеем делать. [c.48] Решение. Пусть АВ, аЬ (фиг. 12) горизонтальная и вертикальная проекции заданной прямой, которой должна быть параллельна образующая цилиндрической поверхности пусть ЕРО заданная кривая в горизонтальной плоскости, по которой постоянно скользит образующая и которзгю можно рассматривать как след цилиндрической поверхности наконец, пусть С будет данная горизонтальная проекция рассматриваемой точки на цилиндрической поверхности, через которую должна проходить искомая касательная плоскость. [c.49] Проведем через рассматриваемую точку на поверхности, горизонтальная проекция которой С, прямолинейную образующую в том положении, которое она должна иметь, проходя через эту точку так как эта образующая — прямая линия, то она будет ее собственной касательной следовательно, она будет одной из двух прямых, определяющих положение касательной плоскости кроме того она будет параллельна заданной прямой следовательно, ее дие проекции будут соответственно параллельны АВ и аЬ, и неопределенная параллельная ЕР, проведенная через точку С параллельно АВ, будет горизонтальной проекцией образующей. [c.50] Чтобы получить ее вертикальную проекцию, продолжим образующую на цилиндрической поверхности до пересечения с горизонтальной плоскостью она сможет пересечь ее только в некоторой точке, которая будет находиться одновременно на проекции ЕР и на кривой ЕРО и которая будет, следовательно, пересечением этих двух линий таким образом, чтобы найти эту точку, надо продолжить ЕР до ее пересечения с кривой ЕРО. [c.50] Здесь возможны два случая или прямая ЕР пересечет след цилиндра только в одной точке, или она пересечет его в нескольких точках. Мы рассмотрим оба случая в отдельности и предположим сначала, что сколько бы мы ни продолжали прямую ЕР, она пересечет кривую ЕРО только в одной точке О. [c.50] Поскольку точка О является следом образующей, то, проектируя ее на вертикальную плоскость при помощи перпендикуляра 0(1 и проводя через d прямую //, параллельную аЬ, мы получим вертикальную проекцию образующей. Таким образом, мы имеем обе проекции одной из прямых, через которые должна пройти искомая касательная плоскость. Кроме того, вертикальная проекция точки касания должна находиться на прямой Сс, проведенной из данной точки С перпендикулярно ЬМ-, она должна также находиться на // следовательно, она будет точкой пересечения с этих двух линий. [c.50] Если прямая ЕР пересекает след ЕРО цилиндрической поверхности в нескольких точках О, Е, мы будем поступать для каждой из этих точек подобным же образом, как описано для точки Д когда мы считали ее единственной -в результате мы будем иметь вертикальные проекции с /, ef стольких прямолинейных образующих и вертикальные проекции с, с стольких точек касания, сколько будет точек пересечения между прямой ЕР и следом ЕРО. [c.51] продолженные до пересечения с прямой ЕМ в двух точках и С, то мы найдем в горизонтальной плоскости следы двух касательных плоскостей. [c.52] Остается, следовательно, найти следы тех же плоскостей в вертикальной плоскости и, так как мы уже имеем для одного из этих следов точку К, а для другого — точку С, нам остается только найти по одной точке для каждой из них. [c.52] Решение. Пусть А (фиг. 14) заданная горизонтальная проекция оси, аа — ее вертикальная проекция, ВСВЕЕ— заданная образующая кривая, расположенная в плоскости, проведенной через ось С—заданная горизонтальная проекция точки касания. [c.53] Действительно, если через каждую точку касания провести еечение горизонтальной плоскостью, то это сечение, которое может быть рассмотрено как вторая образую цая, будет окружностью круга, с центром на оси, касательная к которой, перпендикулярная радиусу в точке касания, будет также перпендикулярна вертикальной плоскости, проведенной через АС, в которой лежит радиус следовательно, касательная плоскость, заключающая эту касательную, будет также перпендикулярна той же вертикальной плоскости, и ее след в горизонтальной плоскости будет перпендикулярен АС. Чтобы найти след каждой из касательных плоскостей, остается только найти ее расстояние до точки А. Но если через точки Е, С провести к первой образующей касательные Е1, СН, продолженные до пересечения с ЬМ в точках /, Н, то прямы а1, аН будут равны этим расстояниям следовательно, если отложить отрезки Л/ и Ак, равные им, и через точки / и Л провести к АС перпендикуляры iQ, кР, продолженные до пересечения с прямой ЬМ, то мы получим следы всех касательных плоскостей в горизонтальной плоскости. [c.55] Мы ограничимся тремя рассмотренными примерами, так как их достаточно для всех поверхностей, происхождение которых мы описали. В дальнейшем в этой книге мы будем рассматривать бесконечно более разнообразные случаи образования семейств поверхностей и будем применять тот же метод нахождения их касательных поверхностей и их нормалей. Теперь же рассмотрим еще одну задачу, для решения которой с успехом может быть применено рассмотрение касательной плоскости. [c.56] Остается последовательно построить все части этого решения. [c.57] Так как вертикальная плоскость СП повернута вокруг своего следа СО до совпадения с горизонтальной плоскостью, то для построения угла Р СР между второй заданной прямой и горизонтальной плоскостью надо отложить отрезок З Р, равный Ь Ь. Та же вертикальная плоскость СО пересекает плоскость, параллельную двум прямым, по прямой РК, параллельной Ср. Отсюда следует, что плоскость, перпендикулярная оси цилиндра и проведенная через точку С, пересекает вертикальную плоскость СО по прямой СК, перпендикулярной Ср или РК, и горизонтальную плоскость — по прямой СН, перпендикулярной СО. [c.58] Вернуться к основной статье